Dada a equação diferencial de Cauchy-Euler
onde
e
são constantes. Mostre que, com a substituição
, obtemos uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de Cauchy-Euler da forma:
Aqui,
e
são constantes. O que precisamos fazer é usar a substituição
para transformar essa equação em uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para isso, vamos precisar aplicar regras de derivação e entender como mudar de variável na EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a substituição que a questão sugere:
Agora, precisamos expressar as derivadas de
em relação a
em termos de derivadas em relação a
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia. Seja
, então:
Como
, temos:
Portanto:
Agora, vamos calcular a segunda derivada
:
Aplicando a regra do produto:
Como
, então:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação original:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando cada termo:
- O primeiro termo:
- O segundo termo:
- O terceiro termo permanece:
Substituindo de volta na equação:
Passo 4
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Combine os termos de
:
Pronto! Agora temos uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes na variável
:
Resposta
Após a substituição
, a equação diferencial de Cauchy-Euler torna-se:
Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.