Dada a equação diferencial de Cauchy-Euler
x^2 y'' + a x y' + b y = 0
onde a e b são constantes. Mostre que, com a substituição z = ln(x), obtemos uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de Cauchy-Euler da forma:
Aqui, e são constantes. O que precisamos fazer é usar a substituição para transformar essa equação em uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para isso, vamos precisar aplicar regras de derivação e entender como mudar de variável na EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a substituição que a questão sugere:
Agora, precisamos expressar as derivadas de em relação a em termos de derivadas em relação a . Para isso, vamos usar a regra da cadeia. Seja , então:
Como , temos:
Portanto:
Agora, vamos calcular a segunda derivada :
Aplicando a regra do produto:
Como , então:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação original:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando cada termo:
  • O primeiro termo:
  • O segundo termo:
  • O terceiro termo permanece:
Substituindo de volta na equação:

Passo 4

Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Combine os termos de :
Pronto! Agora temos uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes na variável :

Resposta

Após a substituição , a equação diferencial de Cauchy-Euler torna-se:
Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Exercícios relacionados