Utilizando a Regra da Substituição, faça
, encontre
, escreva as modificações encontradas, resolva a integral na variável
e volte para a variável
.
(a)
(a)
Passo 1
Então, a gente tem a integral
. Vamos resolver isso usando a Regra da Substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas escolhendo uma nova variável. Precisamos identificar qual parte da integral vai ser substituída por
.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher
. Isso é uma boa escolha porque a derivada de
vai simplificar o restante da integral.
Passo 3
Agora, vamos achar
. Derivando
em relação a
, temos:
Isso significa que
.
Passo 4
Queremos isolar
para substituir na integral. Então, dividimos os dois lados por 4:
Agora, podemos substituir
por
na integral.
Passo 5
Substituindo na integral original, ficamos com:
Isso simplifica bastante a expressão.
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Por fim, voltamos para a variável original
substituindo
:
Resposta
Exercícios relacionados
Dada a equação diferencial de Cauchy-Euler
onde
e
são constantes. Mostre que, com a substituição
, obtemos uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Seja
a metade superior da circunferência
, e
, com
, uma parametrização para
. A integral
, onde
é o valor da integral. Determine:
Seja
a metade superior da circunferência
, e
, com
, uma parametrização para
. A integral
, onde
é o valor da integral. Determine:
Utilizando a Regra da Substituição, faça
, encontre
, escreva as modificações encontradas, resolva a integral na variável
e volte para a variável
.
(e)
(e)