Utilizando a Regra da Substituição, faça , encontre , escreva as modificações encontradas, resolva a integral na variável e volte para a variável .
(a)

Passo 1

Então, a gente tem a integral . Vamos resolver isso usando a Regra da Substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas escolhendo uma nova variável. Precisamos identificar qual parte da integral vai ser substituída por .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher . Isso é uma boa escolha porque a derivada de vai simplificar o restante da integral.

Passo 3

Agora, vamos achar . Derivando em relação a , temos:
Isso significa que .

Passo 4

Queremos isolar para substituir na integral. Então, dividimos os dois lados por 4:
Agora, podemos substituir por na integral.

Passo 5

Substituindo na integral original, ficamos com:
Isso simplifica bastante a expressão.

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, voltamos para a variável original substituindo :

Resposta

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Dada a equação diferencial de Cauchy-Euler
onde e são constantes. Mostre que, com a substituição , obtemos uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Seja a metade superior da circunferência , e , com , uma parametrização para . A integral , onde é o valor da integral. Determine:
Seja a metade superior da circunferência , e , com , uma parametrização para . A integral , onde é o valor da integral. Determine:
Utilizando a Regra da Substituição, faça , encontre , escreva as modificações encontradas, resolva a integral na variável e volte para a variável .
(e)