Utilizando a Regra da Substituição, faça u=g(x), encontre d u=g^prime(x) d x, escreva as modificações encontradas, resolva a integral na variável u e volte para a variável x.
(a) integral x^3 cdot cos (x^4+2) d x

Passo 1

Então, a gente tem a integral . Vamos resolver isso usando a Regra da Substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas escolhendo uma nova variável. Precisamos identificar qual parte da integral vai ser substituída por .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher . Isso é uma boa escolha porque a derivada de vai simplificar o restante da integral.

Passo 3

Agora, vamos achar du = 4x^3 dx . Derivando em relação a , temos:
Isso significa que .

Passo 4

Queremos isolar x^3 dx = du4 para substituir na integral. Então, dividimos os dois lados por 4:
Agora, podemos substituir por na integral.

Passo 5

Substituindo na integral original, ficamos com:
integral x^3 cdot cos(x^4 + 2) dx = integral cos(u) cdot du4 = 14 integral cos(u) du
Isso simplifica bastante a expressão.

Passo 6

Agora, vamos integrar 14 integral cos(u) du = 14 sin(u) + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, voltamos para a variável original 14 sin(x^4 + 2) + C substituindo :

Resposta

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