Seja C a metade superior da circunferência x^2+y^2=25, e r(t)=(x(t), y(t)), com t0 <= t <= t1, uma parametrização para C. A integral integralC(1+y) d s=integralt0^t1 varphi(t) d t=cdots=mu, onde mu é o valor da integral. Determine:
mu=

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está pedindo aqui. Temos uma metade superior de uma circunferência definida por , que é basicamente um semicírculo com raio 5. A questão quer que calculemos a integral de ao longo desse semicírculo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva x(theta) = 5 cos(theta) para facilitar o cálculo da integral. Como estamos lidando com um semicírculo, uma maneira comum é usar o ângulo y(theta) = 5 sin(theta) como parâmetro. Então, podemos escrever:
Aqui, varia de a para cobrir toda a metade superior da circunferência.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a expressão para ds = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 , dtheta , que representa um pequeno elemento de comprimento ao longo da curva. Para uma curva parametrizada por dxdtheta = -5 sin(theta) , temos:
dydtheta = 5 cos(theta)
Calculando as derivadas:
ds = raiz(-5 sin(theta))^2 + (5 cos(theta))^2 , dtheta = raiz25 sin^2(theta) + 25 cos^2(theta) , dtheta
ds = raiz25 (sin^2(theta) + cos^2(theta)) , dtheta = raiz25 cdot 1 , dtheta = 5 , dtheta
Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos mu = integralC (1 + y) , ds = integral0^pi (1 + 5 sin(theta)) cdot 5 , dtheta , podemos reescrever a integral original em termos de mu = integral0^pi (5 + 25 sin(theta)) , dtheta :
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral separadamente:
mu = 5 integral0^pi dtheta + 25 integral0^pi sin(theta) , dtheta
Calculando cada integral:
integral0^pi dtheta = pi
integral0^pi sin(theta) , dtheta = 2
Substituindo de volta:
mu = 5 cdot pi + 25 cdot 2 = 5pi + 50

Resposta

mu = 5pi + 50

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