Seja a metade superior da circunferência , e , com , uma parametrização para . A integral , onde é o valor da integral. Determine:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está pedindo aqui. Temos uma metade superior de uma circunferência definida por , que é basicamente um semicírculo com raio 5. A questão quer que calculemos a integral de ao longo desse semicírculo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva para facilitar o cálculo da integral. Como estamos lidando com um semicírculo, uma maneira comum é usar o ângulo como parâmetro. Então, podemos escrever:
Aqui, varia de a para cobrir toda a metade superior da circunferência.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a expressão para , que representa um pequeno elemento de comprimento ao longo da curva. Para uma curva parametrizada por , temos:
Calculando as derivadas:
Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos , podemos reescrever a integral original em termos de :
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral separadamente:
Calculando cada integral:
Substituindo de volta:

Resposta

Exercícios relacionados

Utilizando a Regra da Substituição, faça , encontre , escreva as modificações encontradas, resolva a integral na variável e volte para a variável .
(a)
Dada a equação diferencial de Cauchy-Euler
onde e são constantes. Mostre que, com a substituição , obtemos uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Utilizando a Regra da Substituição, faça , encontre , escreva as modificações encontradas, resolva a integral na variável e volte para a variável .
(e)
Seja a metade superior da circunferência , e , com , uma parametrização para . A integral , onde é o valor da integral. Determine: