Seja
a metade superior da circunferência
, e
, com
, uma parametrização para
. A integral
, onde
é o valor da integral. Determine:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está pedindo aqui. Temos uma metade superior de uma circunferência definida por
, que é basicamente um semicírculo com raio 5. A questão quer que calculemos a integral de
ao longo desse semicírculo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva
para facilitar o cálculo da integral. Como estamos lidando com um semicírculo, uma maneira comum é usar o ângulo
como parâmetro. Então, podemos escrever:
Aqui,
varia de
a
para cobrir toda a metade superior da circunferência.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a expressão para
, que representa um pequeno elemento de comprimento ao longo da curva. Para uma curva parametrizada por
, temos:
Calculando as derivadas:
Substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos
, podemos reescrever a integral original em termos de
:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral separadamente:
Calculando cada integral:
Substituindo de volta:
Resposta
Exercícios relacionados
Utilizando a Regra da Substituição, faça
, encontre
, escreva as modificações encontradas, resolva a integral na variável
e volte para a variável
.
(a)
(a)
Dada a equação diferencial de Cauchy-Euler
onde
e
são constantes. Mostre que, com a substituição
, obtemos uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Utilizando a Regra da Substituição, faça
, encontre
, escreva as modificações encontradas, resolva a integral na variável
e volte para a variável
.
(e)
(e)
Seja
a metade superior da circunferência
, e
, com
, uma parametrização para
. A integral
, onde
é o valor da integral. Determine: