Seja C a metade superior da circunferência x^2+y^2=25, e r(t)=(x(t), y(t)), com t0 <= t <= t1, uma parametrização para C. A integral integralC(1+y) d s=integralt0^t1 varphi(t) d t=cdots=mu, onde mu é o valor da integral. Determine:
r(t)=

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. Temos a metade de cima de uma circunferência dada por , ou seja, uma circunferência de raio 5. A gente precisa encontrar uma parametrização para essa metade superior da circunferência.
Para resolver isso, vamos usar trigonometria, já que as parametrizações de circunferências geralmente envolvem funções seno e cosseno. Também precisamos saber como expressar e em termos de um parâmetro .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma circunferência de raio x(t) = R cos(t) pode ser parametrizada usando:
y(t) = R sin(t)
x(t) = 5 cos(t)
Aqui, y(t) = 5 sin(t) é o parâmetro que geralmente varia de 0 a para cobrir toda a circunferência. No nosso caso, o raio é 5, então temos:

Passo 3

Agora, precisamos ajustar os valores de 0 <= t <= pi para que a parametrização cubra apenas a metade superior da circunferência. A metade superior corresponde aos valores de positivos, ou seja, quando é positivo.
Sabemos que é positivo quando está entre e . Então, vamos definir o intervalo de como:

Passo 4

Com isso, nossa parametrização completa para a metade superior da circunferência fica:
r(t) = (5 cos(t), 5 sin(t))
onde varia de a .

Resposta

r(t) = (5 cos(t), 5 sin(t)), 0 <= t <= pi

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