Seja a metade superior da circunferência , e , com , uma parametrização para . A integral , onde é o valor da integral. Determine:

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. Temos a metade de cima de uma circunferência dada por , ou seja, uma circunferência de raio 5. A gente precisa encontrar uma parametrização para essa metade superior da circunferência.
Para resolver isso, vamos usar trigonometria, já que as parametrizações de circunferências geralmente envolvem funções seno e cosseno. Também precisamos saber como expressar e em termos de um parâmetro .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma circunferência de raio pode ser parametrizada usando:
Aqui, é o parâmetro que geralmente varia de 0 a para cobrir toda a circunferência. No nosso caso, o raio é 5, então temos:

Passo 3

Agora, precisamos ajustar os valores de para que a parametrização cubra apenas a metade superior da circunferência. A metade superior corresponde aos valores de positivos, ou seja, quando é positivo.
Sabemos que é positivo quando está entre e . Então, vamos definir o intervalo de como:

Passo 4

Com isso, nossa parametrização completa para a metade superior da circunferência fica:
onde varia de a .

Resposta

Exercícios relacionados

Determine o divergente e o rotacional do campo vetorial .
Determine os intervalos nos quais existem, com certeza, soluções para a equação diferencial
Seja a metade superior da circunferência , e , com , uma parametrização para . A integral , onde é o valor da integral. Determine:
Dada a equação diferencial de Cauchy-Euler
onde e são constantes. Mostre que, com a substituição , obtemos uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.