Seja
a metade superior da circunferência
, e
, com
, uma parametrização para
. A integral
, onde
é o valor da integral. Determine:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. Temos a metade de cima de uma circunferência dada por
, ou seja, uma circunferência de raio 5. A gente precisa encontrar uma parametrização
para essa metade superior da circunferência.
Para resolver isso, vamos usar trigonometria, já que as parametrizações de circunferências geralmente envolvem funções seno e cosseno. Também precisamos saber como expressar
e
em termos de um parâmetro
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma circunferência de raio
pode ser parametrizada usando:
Aqui,
é o parâmetro que geralmente varia de 0 a
para cobrir toda a circunferência. No nosso caso, o raio
é 5, então temos:
Passo 3
Agora, precisamos ajustar os valores de
para que a parametrização cubra apenas a metade superior da circunferência. A metade superior corresponde aos valores de
positivos, ou seja, quando
é positivo.
Sabemos que
é positivo quando
está entre
e
. Então, vamos definir o intervalo de
como:
Passo 4
Com isso, nossa parametrização completa para a metade superior da circunferência fica:
onde
varia de
a
.
Resposta
Exercícios relacionados
Determine o divergente e o rotacional do campo vetorial
.
Determine os intervalos nos quais existem, com certeza, soluções para a equação diferencial
Seja
a metade superior da circunferência
, e
, com
, uma parametrização para
. A integral
, onde
é o valor da integral. Determine:
Dada a equação diferencial de Cauchy-Euler
onde
e
são constantes. Mostre que, com a substituição
, obtemos uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.