Seja a metade superior da circunferência , e , com , uma parametrização para . A integral , onde é o valor da integral. Determine:

Passo 1

Então, a gente tem uma curva que é a metade de cima de uma circunferência com equação . Isso significa que o raio da circunferência é 5, já que é . A parametrização dessa curva é dada por , onde varia de até . A gente precisa calcular a integral de ao longo dessa curva, ou seja, , e isso está igual a . Nosso objetivo aqui é determinar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma parametrização de uma curva. Basicamente, é uma forma de descrever cada ponto da curva usando um parâmetro, que no caso é o . Para uma circunferência de raio 5, uma parametrização comum é:
onde varia de 0 a para cobrir a metade superior da circunferência.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o elemento de comprimento . Quando temos uma parametrização , o pode ser encontrado pela fórmula:
Vamos calcular as derivadas de e .

Passo 4

Diferenciando em relação a , temos:
E diferenciando , temos:

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão de :
Fatorando 25:
Porque .

Passo 6

Agora, vamos substituir e na integral original:
Simplificando:

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Onde é a constante de integração. Como estamos avaliando de a , temos:
Ou seja:

Passo 8

Agora, vamos isolar na equação:
Dividindo todos os termos por 5:
Rearranjando:
Esta é uma equação que geralmente precisa ser resolvida numericamente para encontrar , já que aparece dentro do argumento do cosseno.

Resposta

O valor de é dado pela solução da equação:
Essa equação pode ser resolvida numericamente para encontrar o valor específico de .

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Seja a metade superior da circunferência , e , com , uma parametrização para . A integral , onde é o valor da integral. Determine:
Determine o divergente e o rotacional do campo vetorial .
Dada a equação diferencial de Cauchy-Euler
onde e são constantes. Mostre que, com a substituição , obtemos uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Utilizando a Regra da Substituição, faça , encontre , escreva as modificações encontradas, resolva a integral na variável e volte para a variável .
(a)