Seja
a metade superior da circunferência
, e
, com
, uma parametrização para
. A integral
, onde
é o valor da integral. Determine:
Passo 1
Então, a gente tem uma curva
que é a metade de cima de uma circunferência com equação
. Isso significa que o raio da circunferência é 5, já que
é
. A parametrização dessa curva é dada por
, onde
varia de
até
. A gente precisa calcular a integral de
ao longo dessa curva, ou seja,
, e isso está igual a
. Nosso objetivo aqui é determinar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma parametrização de uma curva. Basicamente, é uma forma de descrever cada ponto da curva usando um parâmetro, que no caso é o
. Para uma circunferência de raio 5, uma parametrização comum é:
onde
varia de 0 a
para cobrir a metade superior da circunferência.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o elemento de comprimento
. Quando temos uma parametrização
, o
pode ser encontrado pela fórmula:
Vamos calcular as derivadas de
e
.
Passo 4
Diferenciando
em relação a
, temos:
E diferenciando
, temos:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão de
:
Fatorando 25:
Porque
.
Passo 6
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Onde
é a constante de integração. Como estamos avaliando de
a
, temos:
Ou seja:
Passo 8
Agora, vamos isolar
na equação:
Dividindo todos os termos por 5:
Rearranjando:
Esta é uma equação que geralmente precisa ser resolvida numericamente para encontrar
, já que aparece dentro do argumento do cosseno.
Resposta
O valor de
é dado pela solução da equação:
Essa equação pode ser resolvida numericamente para encontrar o valor específico de
.
Exercícios relacionados
Seja
a metade superior da circunferência
, e
, com
, uma parametrização para
. A integral
, onde
é o valor da integral. Determine:
Determine o divergente e o rotacional do campo vetorial
.
Dada a equação diferencial de Cauchy-Euler
onde
e
são constantes. Mostre que, com a substituição
, obtemos uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Utilizando a Regra da Substituição, faça
, encontre
, escreva as modificações encontradas, resolva a integral na variável
e volte para a variável
.
(a)
(a)