Seja C a metade superior da circunferência x^2+y^2=25, e r(t)=(x(t), y(t)), com t0 <= t <= t1, uma parametrização para C. A integral integralC(1+y) d s=integralt0^t1 varphi(t) d t=cdots=mu, onde mu é o valor da integral. Determine:
t1=

Passo 1

Então, a gente tem uma curva C que é a metade de cima de uma circunferência com equação x^2 + y^2 = 25. Isso significa que o raio da circunferência é 5, já que 25 é 5^2. A parametrização dessa curva é dada por r(t) = (x(t), y(t)), onde t varia de t0 até t1. A gente precisa calcular a integral de (1 + y) ao longo dessa curva, ou seja, integralC(1+y) , ds, e isso está igual a mu. Nosso objetivo aqui é determinar o valor de t1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma parametrização de uma curva. Basicamente, é uma forma de descrever cada ponto da curva usando um parâmetro, que no caso é o t. Para uma circunferência de raio 5, uma parametrização comum é:
r(t) = (5cos t, 5sin t)
onde t varia de 0 a pi para cobrir a metade superior da circunferência.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o elemento de comprimento ds. Quando temos uma parametrização r(t) = (x(t), y(t)), o ds pode ser encontrado pela fórmula:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Vamos calcular as derivadas de x(t) e y(t).

Passo 4

Diferenciando x(t) = 5cos t em relação a t, temos:
dxdt = -5sin t
E diferenciando y(t) = 5sin t, temos:
dydt = 5cos t

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão de ds:
ds = raiz(-5sin t)^2 + (5cos t)^2 , dt = raiz25sin^2 t + 25cos^2 t , dt
Fatorando 25:
ds = raiz25(sin^2 t + cos^2 t) , dt = raiz25 cdot 1 , dt = 5 , dt
Porque sin^2 t + cos^2 t = 1.

Passo 6

Agora, vamos substituir r(t) e ds na integral original:
integralC(1 + y) , ds = integralt0^t1 (1 + 5sin t) cdot 5 , dt
Simplificando:
integralt0^t1 (5 + 25sin t) , dt = mu

Passo 7

Vamos calcular a integral:
integral (5 + 25sin t) , dt = 5t - 25cos t + C
Onde C é a constante de integração. Como estamos avaliando de t0 a t1, temos:
[5t - 25cos t]t0^t1 = mu
Ou seja:
5(t1 - t0) - 25(cos t1 - cos t0) = mu

Passo 8

Agora, vamos isolar t1 na equação:
5(t1 - t0) - 25(cos t1 - cos t0) = mu
Dividindo todos os termos por 5:
(t1 - t0) - 5(cos t1 - cos t0) = mu5
Rearranjando:
t1 = t0 + 5(cos t1 - cos t0) + mu5
Esta é uma equação que geralmente precisa ser resolvida numericamente para encontrar t1, já que aparece dentro do argumento do cosseno.

Resposta

O valor de t1 é dado pela solução da equação:
t1 = t0 + 5(cos t1 - cos t0) + mu5
Essa equação pode ser resolvida numericamente para encontrar o valor específico de t1.

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