Determine e faça um esboço do domínio das funções abaixo:
(d) f(x, y) = raiz(4 x y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . Nosso objetivo é descobrir quais valores de e fazem essa função existir, ou seja, o domínio dela. Para isso, precisamos entender onde a expressão dentro da raiz quadrada, , é maior ou igual a zero, porque não dá pra tirar raiz de número negativo no conjunto dos números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a condição . Como 4 é um número positivo, podemos simplificar a desigualdade dividindo ambos os lados por 4, ficando:
Isso significa que o produto de e deve ser maior ou igual a zero. Vamos pensar nas possibilidades:
  1. Ambos positivos: Se e , então .
  2. Ambos negativos: Se e , então .
  3. Um positivo e outro negativo: Se um é positivo e o outro é negativo, , o que não satisfaz nossa condição.
  4. Um dos dois é zero: Se ou , então , que ainda atende .

Passo 3

Então, juntando tudo, o domínio da função é formado pelos pares onde:
  • Ambos e são positivos.
  • Ambos e são negativos.
  • Um dos dois é zero.
Em termos matemáticos, podemos expressar o domínio como:

Passo 4

Agora, vamos fazer um esboço desse domínio no plano cartesiano. Vamos considerar os eixos e :
  • Primeiro quadrante ( e ): Aqui, a função está definida.
  • Terceiro quadrante ( e ): Também está definido.
  • Eixos ( ou ): A função é zero e, portanto, definida.
Então, no gráfico, vamos sombrear o primeiro e o terceiro quadrantes, incluindo os eixos.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares onde tanto e são positivos ou ambos são negativos, além dos casos onde um dos dois é zero. Isso pode ser representado matematicamente por:
O esboço do domínio no plano cartesiano inclui o primeiro e o terceiro quadrantes, além dos eixos e .

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