Determine e faça um esboço do domínio das funções abaixo:
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. Nosso objetivo é descobrir quais valores de
e
fazem essa função existir, ou seja, o domínio dela. Para isso, precisamos entender onde a expressão dentro da raiz quadrada,
, é maior ou igual a zero, porque não dá pra tirar raiz de número negativo no conjunto dos números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a condição
. Como 4 é um número positivo, podemos simplificar a desigualdade dividindo ambos os lados por 4, ficando:
Isso significa que o produto de
e
deve ser maior ou igual a zero. Vamos pensar nas possibilidades:
- Ambos positivos: Se
e , então . - Ambos negativos: Se
e , então . - Um positivo e outro negativo: Se um é positivo e o outro é negativo,
, o que não satisfaz nossa condição. - Um dos dois é zero: Se
ou , então , que ainda atende .
Passo 3
Então, juntando tudo, o domínio da função
é formado pelos pares
onde:
- Ambos
e são positivos. - Ambos
e são negativos. - Um dos dois é zero.
Em termos matemáticos, podemos expressar o domínio como:
Passo 4
Agora, vamos fazer um esboço desse domínio no plano cartesiano. Vamos considerar os eixos
e
:
- Primeiro quadrante (
e ): Aqui, a função está definida. - Terceiro quadrante (
e ): Também está definido. - Eixos (
ou ): A função é zero e, portanto, definida.
Então, no gráfico, vamos sombrear o primeiro e o terceiro quadrantes, incluindo os eixos.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
onde tanto
e
são positivos ou ambos são negativos, além dos casos onde um dos dois é zero. Isso pode ser representado matematicamente por:
O esboço do domínio no plano cartesiano inclui o primeiro e o terceiro quadrantes, além dos eixos
e
.