Dada a equação diferencial e a condição inicial
d y/d x = 4 - 4 x + y - x y, y(0) = 1
Mostre que a ED não é exata.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
O objetivo é mostrar que essa equação diferencial não é exata. Para isso, precisaremos entender o que significa uma equação diferencial ser exata e como verificar essa condição.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a equação diferencial de uma forma que facilite a análise. A equação dada pode ser rearranjada para:
Agora, vamos colocar todos os termos em um dos lados da equação para obter a forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem:
Aqui, identificamos as funções e :

Passo 3

Uma equação diferencial na forma é chamada de exata se existir uma função potencial tal que:
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais cruzadas de e .

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
  • Derivada parcial de em relação a :
  • Derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, comparamos essas derivadas parciais:
Para a equação ser exata, essas duas derivadas devem ser iguais, ou seja:

Passo 6

Observamos que:
Isso significa que as derivadas parciais não são iguais. Portanto, a condição necessária para que a equação seja exata não é satisfeita.

Resposta

Concluímos que a equação diferencial dada não é exata, pois as derivadas parciais de em relação a e de em relação a não são iguais.

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