Dada a equação diferencial e a condição inicial
Mostre que a ED não é exata.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
O objetivo é mostrar que essa equação diferencial não é exata. Para isso, precisaremos entender o que significa uma equação diferencial ser exata e como verificar essa condição.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a equação diferencial de uma forma que facilite a análise. A equação dada pode ser rearranjada para:
Agora, vamos colocar todos os termos em um dos lados da equação para obter a forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem:
Aqui, identificamos as funções
e
:
Passo 3
Uma equação diferencial na forma
é chamada de exata se existir uma função potencial
tal que:
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais cruzadas de
e
.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
-
Derivada parcial de
em relação a : -
Derivada parcial de
em relação a :
Passo 5
Agora, comparamos essas derivadas parciais:
Para a equação ser exata, essas duas derivadas devem ser iguais, ou seja:
Passo 6
Observamos que:
Isso significa que as derivadas parciais não são iguais. Portanto, a condição necessária para que a equação seja exata não é satisfeita.
Resposta
Concluímos que a equação diferencial dada não é exata, pois as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
não são iguais.