Use uma integral dupla para calcular o volume do sólido W limitado por: e
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular o volume de um sólido usando uma integral dupla. Esse sólido está limitado pelas superfícies , , e . Então, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso. Vamos precisar entender como configurar os limites de integração e como expressar a função que representa a altura do sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as restrições dadas:
: é o plano que coincide com o eixo YZ.
: é o plano XY.
: é um plano inclinado que intercepta os eixos X e Y.
: é uma parábola que abre para baixo no eixo Z.
Para encontrar o volume, precisamos determinar a região de integração no plano XY e a função que define a altura em termos de .
Passo 3
Vamos começar determinando os limites de . A relação nos dá . Como , então o que implica . Além disso, como , temos , ou seja, . Porém, como já engloba , focaremos em de a .
Passo 4
Agora, para cada valor de , varia de a . Então, os limites de são de a .
A altura do sólido é dada por . Então, a função que representa a altura é .
Passo 5
Com isso, podemos montar a integral dupla para o volume :
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a .
Passo 6
Integrando em relação a de a :
Passo 7
Agora, temos que integrar essa expressão em relação a :