Use uma integral dupla para calcular o volume do sólido W limitado por:
x=0, z=0, x+y=9 e z = 9 - y^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular o volume de um sólido usando uma integral dupla. Esse sólido está limitado pelas superfícies , , e . Então, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso. Vamos precisar entender como configurar os limites de integração e como expressar a função que representa a altura do sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as restrições dadas:
  1. : é o plano que coincide com o eixo YZ.
  2. : é o plano XY.
  3. : é um plano inclinado que intercepta os eixos X e Y.
  4. : é uma parábola que abre para baixo no eixo Z.
Para encontrar o volume, precisamos determinar a região de integração no plano XY e a função que define a altura em termos de .

Passo 3

Vamos começar determinando os limites de . A relação nos dá . Como , então o que implica . Além disso, como , temos , ou seja, . Porém, como já engloba , focaremos em de a .

Passo 4

Agora, para cada valor de , varia de a . Então, os limites de são de a .
A altura do sólido é dada por . Então, a função que representa a altura é .

Passo 5

Com isso, podemos montar a integral dupla para o volume :
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a .

Passo 6

Integrando em relação a de a :

Passo 7

Agora, temos que integrar essa expressão em relação a :
Vamos expandir a expressão antes de integrar:
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:

Passo 9

Agora, somamos todos os resultados das integrais:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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