Dada a equação diferencial e a condição inicial
d y/d x = 4 - 4 x + y - x y, y(0) = 1
Resolva a ED usando o método da separação de variáveis.

Passo 1

Vamos lá! Temos a seguinte equação diferencial com condição inicial:
Vamos resolver essa equação usando o método da separação de variáveis. Esse método é útil quando conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar os termos com . Reescrevendo a equação:
Perceba que a equação é linear e pode ser escrita na forma padrão:
onde e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então,

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica para:
Isso ocorre porque o lado esquerdo agora é a derivada do produto .

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Vamos calcular a integral do lado direito.

Passo 6

Observamos que:
E sabemos que a derivada de é . Isso sugere que a integral do lado direito pode ser simplificada. Vamos fazer a substituição:
Então,

Passo 7

Agora, substituímos de volta na equação integrada:
Para resolver para , dividimos ambos os lados por :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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