Dada a equação diferencial e a condição inicial
Resolva a ED usando o método da separação de variáveis.
Passo 1
Vamos lá! Temos a seguinte equação diferencial com condição inicial:
Vamos resolver essa equação usando o método da separação de variáveis. Esse método é útil quando conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar os termos com
. Reescrevendo a equação:
Perceba que a equação é linear e pode ser escrita na forma padrão:
onde
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então,
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Isso ocorre porque o lado esquerdo agora é a derivada do produto
.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Vamos calcular a integral do lado direito.
Passo 6
Observamos que:
E sabemos que a derivada de
é
. Isso sugere que a integral do lado direito pode ser simplificada. Vamos fazer a substituição:
Então,
Passo 7
Agora, substituímos de volta na equação integrada:
Para resolver para
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: