Para todo n in N, mostre que: 9 divide 4^n + 6n - 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que, para todo número natural , o número é divisível por 9. Isso significa que, quando dividimos por 9, o resto sempre será zero. Para resolver isso, vamos usar indução matemática, que é uma técnica poderosa para provar afirmações que dependem de números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso inicial, ou seja, quando . Isso é importante para a base da nossa indução.
Calculando para :
Como 9 dividido por 9 dá exatamente 1, sem resto, a afirmação é verdadeira para .

Passo 3

Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número natural . Ou seja, estamos assumindo que:
Isso significa que existe um número inteiro tal que:
Essa é a nossa hipótese de indução.

Passo 4

Nosso próximo objetivo é mostrar que, se a afirmação é verdadeira para , então ela também é verdadeira para . Vamos calcular .
Primeiro, expressamos como :

Passo 5

Vamos reorganizar a expressão para facilitar a utilização da nossa hipótese de indução:
Sabemos, pela hipótese de indução, que . Então, substituindo:
Simplificando:

Passo 6

Observe que pode ser escrito como . Porém, não é inteiro, então precisamos ajustar nossa abordagem.
Vamos refazer a simplificação:
Claramente, houve um erro na simplificação anterior. Vamos reconsiderar.

Passo 7

Vamos ajustar nossa expressão:
Mas isso complica demais. Vamos simplificar de outra forma:
Sabemos que , então:
Usando a hipótese de indução :
Mas precisamos que isso seja múltiplo de 9. Parece que precisamos de outra estratégia.

Passo 8

Vamos tentar usar aritmética modular. Queremos mostrar que .
Sabemos que , então:
Também, e .
Vamos calcular :
Observamos o padrão de potências de 4 modulo 9:
Vemos que segue um ciclo de período 3: 4, 7, 1.

Passo 9

Agora, analisamos . Como , temos:
Somando tudo:
Usando os ciclos:
  • Se ,
  • Se ,
  • Se ,
Vamos verificar cada caso.

Passo 10

Caso 1:
Caso 2:
Caso 3:
Em todos os casos, é divisível por 9.

Resposta

Para todo , o número é divisível por 9.

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