Para todo
, mostre que: 9 divide
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que, para todo número natural
, o número
é divisível por 9. Isso significa que, quando dividimos
por 9, o resto sempre será zero. Para resolver isso, vamos usar indução matemática, que é uma técnica poderosa para provar afirmações que dependem de números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso inicial, ou seja, quando
. Isso é importante para a base da nossa indução.
Calculando para
:
Como 9 dividido por 9 dá exatamente 1, sem resto, a afirmação é verdadeira para
.
Passo 3
Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número natural
. Ou seja, estamos assumindo que:
Isso significa que existe um número inteiro
tal que:
Essa é a nossa hipótese de indução.
Passo 4
Nosso próximo objetivo é mostrar que, se a afirmação é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Vamos calcular
.
Primeiro, expressamos
como
:
Passo 5
Vamos reorganizar a expressão para facilitar a utilização da nossa hipótese de indução:
Sabemos, pela hipótese de indução, que
. Então, substituindo:
Simplificando:
Passo 6
Observe que
pode ser escrito como
. Porém,
não é inteiro, então precisamos ajustar nossa abordagem.
Vamos refazer a simplificação:
Claramente, houve um erro na simplificação anterior. Vamos reconsiderar.
Passo 7
Vamos ajustar nossa expressão:
Mas isso complica demais. Vamos simplificar de outra forma:
Sabemos que , então:
Sabemos que
Usando a hipótese de indução
:
Mas precisamos que isso seja múltiplo de 9. Parece que precisamos de outra estratégia.
Passo 8
Vamos tentar usar aritmética modular. Queremos mostrar que
.
Sabemos que
, então:
Também,
e
.
Vamos calcular
:
Observamos o padrão de potências de 4 modulo 9:
Observamos o padrão de potências de 4 modulo 9:
Vemos que
segue um ciclo de período 3: 4, 7, 1.
Passo 9
Agora, analisamos
. Como
, temos:
Somando tudo:
Usando os ciclos:
- Se
, - Se
, - Se
,
Vamos verificar cada caso.
Passo 10
Caso 1:
Caso 2:
Caso 3:
Em todos os casos,
é divisível por 9.
Resposta
Para todo
, o número
é divisível por 9.