Resolva as equações diferenciais exatas
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você me passou:
Esse tipo de equação faz parte do estudo de equações diferenciais exatas, onde a ideia é encontrar uma função potencial cuja derivada total nos dá a equação original. Para resolver, vamos precisar lembrar como identificar uma equação exata e como encontrar a função que a resolve.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na nossa equação, onde:
Uma equação diferencial na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Usando a regra do produto e sabendo que
, temos:
Agora, vamos calcular
:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função de
que aparece na integração.
Passo 5
Agora, vamos usar a segunda equação
para encontrar
:
Calculando a derivada:
Simplificando:
Cancelando
dos dois lados:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, juntamos tudo para obter a função potencial
:
A solução geral da equação diferencial exata é dada por
, então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é uma constante.