Resolva as equações diferenciais exatas (y ln |y| - y) dx + (1/y + x ln |y|) dy = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você me passou:
Esse tipo de equação faz parte do estudo de equações diferenciais exatas, onde a ideia é encontrar uma função potencial cuja derivada total nos dá a equação original. Para resolver, vamos precisar lembrar como identificar uma equação exata e como encontrar a função que a resolve.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na nossa equação, onde:
Uma equação diferencial na forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Usando a regra do produto e sabendo que , temos:
Agora, vamos calcular :
Como , a equação é exata.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função de que aparece na integração.

Passo 5

Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar :
Calculando a derivada:
Simplificando:
Cancelando dos dois lados:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, juntamos tudo para obter a função potencial :
A solução geral da equação diferencial exata é dada por , então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é onde é uma constante.

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