Dada equação diferencial exata M(x, y) dx + (2xy + 1/x) dy = 0. Ache a solução geral desta equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial exata dada por:
Isso significa que podemos encontrar uma função tal que:
Para resolver, vamos integrar em relação a e depois ajustar com a parte de .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a . Aqui, é a parte que multiplica o , mas no enunciado original não está claro qual é . Parece que faltou informação, mas vamos assumir que para seguir em frente.
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função arbitrária de , já que ao integrar em relação a , a constante pode depender de .

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a e igualar à parte que multiplica o na equação original:
Isso nos dá uma equação para :

Passo 4

Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é a constante de integração.

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão para :
A equação geral da solução é , então temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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