Dada equação diferencial exata
. Ache a solução geral desta equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial exata dada por:
Isso significa que podemos encontrar uma função
tal que:
Para resolver, vamos integrar
em relação a
e depois ajustar com a parte de
.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar
em relação a
. Aqui,
é a parte que multiplica o
, mas no enunciado original não está claro qual é
. Parece que faltou informação, mas vamos assumir que
para seguir em frente.
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
, já que ao integrar em relação a
, a constante pode depender de
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à parte que multiplica o
na equação original:
Isso nos dá uma equação para
:
Passo 4
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, substituímos
de volta na expressão para
:
A equação geral da solução é
, então temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.