Resolva o problema de valor inicial para equação de Clairaut
Verifique se exista uma solução singular que satisfaz este problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos dá uma equação de Clairaut:
E nos pede para resolver o problema de valor inicial com a condição
. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação de Clairaut e como encontrar suas soluções geral e singular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a equação está na forma padrão da equação de Clairaut:
Aqui,
. A solução geral de uma equação de Clairaut é dada por:
onde
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos substituir
na solução geral:
Como estamos resolvendo um problema de valor inicial com
, substituímos
e
na equação:
Simplificando:
Então,
. Agora, substituímos
de volta na solução geral:
Passo 4
Agora, vamos verificar se existe uma solução singular que também satisfaz o problema de valor inicial. A solução singular de uma equação de Clairaut é encontrada encontrando o envelope das soluções gerais. Para isso, derivamos a equação geral em relação a
:
Substituímos
na equação geral:
Agora, expressamos
em termos de
:
Substituindo na equação de
:
Mas, para
,
não está definido. Então, a solução singular não satisfaz a condição inicial
.
Resposta
A solução que satisfaz o problema de valor inicial é:
Não existe uma solução singular que atende a condição
.