Resolva as equações diferenciais lineares x dy/dx + y = 2x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial linear que é . A gente vai usar conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente das equações lineares, para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão das equações diferenciais lineares: . Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por :
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso simplifica para:
Notamos que isso nos retorna à equação original, mas agora sabemos que o lado esquerdo é a derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integração do lado esquerdo simplifica para , e a do lado direito:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante real.

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