Resolva as equações diferenciais lineares
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial linear que é
. A gente vai usar conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente das equações lineares, para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão das equações diferenciais lineares:
. Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por
:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a resolver a equação. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Notamos que isso nos retorna à equação original, mas agora sabemos que o lado esquerdo é a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integração do lado esquerdo simplifica para
, e a do lado direito:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real.