Na equação
é a força, é o comprimento e é a massa específica volumétrica. Determinar os valores de e para os quais esta equação seja dimensionalmente homogênea a
Resposta: e

Passo 1

Beleza! Vamos ver o que a questão tá pedindo. Temos a equação:
Aqui, é a força, é o comprimento e é a massa específica volumétrica. A gente precisa encontrar os valores de , e de forma que a equação seja dimensionalmente homogênea, ou seja, que as dimensões dos dois lados da equação sejam iguais. A dimensão de é dada por:
Para resolver isso, vamos usar o Análise Dimensional, uma ferramenta super útil na física para checar se as equações estão corretas em termos de unidades.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada variável envolvida:
  • Força ( ): A força tem dimensão de Massa vezes Aceleração. A aceleração é comprimento por tempo ao quadrado ( ). Então,
  • Comprimento ( ): Já temos direto,
  • Massa específica volumétrica ( ): Ela é massa por volume, então,

Passo 3

Agora, vamos expressar a dimensão de em termos de , e usando os expoentes , e :
Substituindo as dimensões que encontramos:

Passo 4

Vamos expandir essa equação para facilitar a comparação das potências de cada dimensão (M, L, T):
E do lado esquerdo:

Passo 5

Para que as dimensões sejam iguais, os expoentes de cada dimensão devem ser iguais nos dois lados da equação. Então, temos o seguinte sistema de equações:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da terceira equação:
Agora que temos , podemos substituir na primeira equação para encontrar :
Por fim, substituímos e na segunda equação para achar :

Resposta

Os valores que tornam a equação dimensionalmente homogênea são:

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áá
Dada a equação dimensionalmente homogênea:
onde é a pressão, é a quantidade de movimento, e e é a base dos logaritmos neperianos, determinar as dimensões das grandezas e em relação ao .
Resposta: e
A potência de uma hélice de avião depende da densidade absoluta do ar, da velocidade angular e do raio da hélice. Determine a equação que dá a potência em função das grandezas das quais depende.
Resposta:
Um fio retilíneo longo é percorrido por uma corrente elétrica de intensidade , em consequência do que ele modifica o espaço que circunda criando um campo magnético de intensidade , que varia com a distância d do fio até o ponto considerado. Sabendo-se que depende apenas de i e de d, mostrar que é diretamente proporcional a i e inversamente proporcional a d.
Resposta: Não.