Na equação
é a força,
é o comprimento e
é a massa específica volumétrica. Determinar os valores de
e
para os quais esta equação seja dimensionalmente homogênea a
Resposta:
e
Resposta:
Passo 1
Beleza! Vamos ver o que a questão tá pedindo. Temos a equação:
Aqui,
é a força,
é o comprimento e
é a massa específica volumétrica. A gente precisa encontrar os valores de
,
e
de forma que a equação seja dimensionalmente homogênea, ou seja, que as dimensões dos dois lados da equação sejam iguais. A dimensão de
é dada por:
Para resolver isso, vamos usar o Análise Dimensional, uma ferramenta super útil na física para checar se as equações estão corretas em termos de unidades.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada variável envolvida:
- Força (
): A força tem dimensão de Massa vezes Aceleração. A aceleração é comprimento por tempo ao quadrado ( ). Então,
- Comprimento (
): Já temos direto,
- Massa específica volumétrica (
): Ela é massa por volume, então,
Passo 3
Agora, vamos expressar a dimensão de
em termos de
,
e
usando os expoentes
,
e
:
Substituindo as dimensões que encontramos:
Passo 4
Vamos expandir essa equação para facilitar a comparação das potências de cada dimensão (M, L, T):
E do lado esquerdo:
Passo 5
Para que as dimensões sejam iguais, os expoentes de cada dimensão devem ser iguais nos dois lados da equação. Então, temos o seguinte sistema de equações:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da terceira equação:
Agora que temos
, podemos substituir na primeira equação para encontrar
:
Por fim, substituímos
e
na segunda equação para achar
:
Resposta
Os valores que tornam a equação dimensionalmente homogênea são: