Na equação
X=F^alpha S^beta rho^gamma
F é a força, S é o comprimento e rho é a massa específica volumétrica. Determinar os valores de alpha, beta e gamma para os quais esta equação seja dimensionalmente homogênea a [X]=M L^-1 T
Resposta: alpha=-12, beta=4 e gamma=32

Passo 1

Beleza! Vamos ver o que a questão tá pedindo. Temos a equação:
X = F^alpha S^beta rho^gamma
Aqui, [X] = M L^-1 T é a força, é o comprimento e é a massa específica volumétrica. A gente precisa encontrar os valores de , e de forma que a equação seja dimensionalmente homogênea, ou seja, que as dimensões dos dois lados da equação sejam iguais. A dimensão de é dada por:
Para resolver isso, vamos usar o Análise Dimensional, uma ferramenta super útil na física para checar se as equações estão corretas em termos de unidades.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada variável envolvida:
  • Força ( [F] = M L T^-2 ): A força tem dimensão de Massa vezes Aceleração. A aceleração é comprimento por tempo ao quadrado ( [S] = L ). Então,
[rho] = M L^-3
  • Comprimento ( ): Já temos direto,
  • Massa específica volumétrica ( ): Ela é massa por volume, então,

Passo 3

Agora, vamos expressar a dimensão de [X] = [F]^alpha [S]^beta [rho]^gamma em termos de M L^-1 T = (M L T^-2)^alpha (L)^beta (M L^-3)^gamma , e usando os expoentes , e :
Substituindo as dimensões que encontramos:

Passo 4

Vamos expandir essa equação para facilitar a comparação das potências de cada dimensão (M, L, T):
M^alpha L^alpha T^-2alpha cdot L^beta cdot M^gamma L^-3gamma = M^alpha + gamma L^alpha + beta - 3gamma T^-2alpha
E do lado esquerdo:
M^1 L^-1 T^1

Passo 5

Para que as dimensões sejam iguais, os expoentes de cada dimensão devem ser iguais nos dois lados da equação. Então, temos o seguinte sistema de equações:
  1. Para alpha + gamma = 1 :
alpha + beta - 3gamma = -1
  1. Para -2alpha = 1 :
  1. Para :

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da terceira equação:
-2alpha = 1 implies alpha = -12
Agora que temos -12 + gamma = 1 implies gamma = 1 + 12 = 32 , podemos substituir na primeira equação para encontrar -12 + beta - 3 cdot 32 = -1 -12 + beta - 92 = -1 beta - 5 = -1 implies beta = 4 :
Por fim, substituímos e na segunda equação para achar :

Resposta

Os valores que tornam a equação dimensionalmente homogênea são:
alpha = -12, beta = 4, gamma = 32

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