Dada a equação da esfera
determine o centro e o raio.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui: a equação de uma esfera é dada por
. Nosso objetivo é descobrir onde fica o centro dessa esfera e qual é o seu raio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica e aprender a completar o quadrado para transformar a equação na forma padrão da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos iguais:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis: x, y e z. Completar o quadrado ajuda a transformar a equação na forma padrão da esfera.
Para a variável
:
- Temos
. - Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de
, que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: . - Então,
.
Para a variável
:
- Temos
. - Metade do coeficiente de
é 1, e ao quadrado fica . - Assim,
.
Para a variável
:
- Temos
. - Metade do coeficiente de
é -6, e ao quadrado fica . - Portanto,
.
Passo 4
Substituindo essas expressões de volta na equação original, ficamos com:
Passo 5
Agora, vamos somar os números constantes:
Então, a equação fica:
Passo 6
Isolando a equação na forma padrão da esfera:
Passo 7
Comparando com a forma padrão da equação da esfera:
Podemos identificar:
- O centro da esfera
é . - O raio
é a raiz quadrada de 16, ou seja, 4.
Resposta
O centro da esfera é
e o raio é
.