Dada a equação da esfera x^2+y^2+z^2-4 x+2 y-12 z+25=0 determine o centro e o raio.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui: a equação de uma esfera é dada por x^2+y^2+z^2-4x+2y-12z+25=0. Nosso objetivo é descobrir onde fica o centro dessa esfera e qual é o seu raio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica e aprender a completar o quadrado para transformar a equação na forma padrão da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos iguais:
x^2 - 4x + y^2 + 2y + z^2 - 12z + 25 = 0

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis: x, y e z. Completar o quadrado ajuda a transformar a equação na forma padrão da esfera.

Para a variável :

  • Temos .
  • Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de , que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: .
  • Então, .

Para a variável :

  • Temos .
  • Metade do coeficiente de é 1, e ao quadrado fica .
  • Assim, .

Para a variável :

  • Temos .
  • Metade do coeficiente de é -6, e ao quadrado fica .
  • Portanto, .

Passo 4

Substituindo essas expressões de volta na equação original, ficamos com:
(x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 + (z - 6)^2 - 36 + 25 = 0

Passo 5

Agora, vamos somar os números constantes:
-4 - 1 - 36 + 25 = -16
Então, a equação fica:
(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 6)^2 - 16 = 0

Passo 6

Isolando a equação na forma padrão da esfera:
(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 6)^2 = 16

Passo 7

Comparando com a forma padrão da equação da esfera:
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2
Podemos identificar:
  • O centro da esfera é .
  • O raio é a raiz quadrada de 16, ou seja, 4.

Resposta

O centro da esfera é (2, -1, 6) e o raio é 4.

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