Use os traços para esboçar e identificar as superfícies:
4 z=x^2+4 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar traços para esboçar e identificar a superfície definida pela equação . A matéria aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como transformamos essa equação em uma forma que nos ajude a identificar o tipo de superfície e como esboçá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da superfície. Dividindo ambos os lados por 4, ficamos com:
z = x^24 + y^2
Isso nos ajuda a ver a estrutura da equação mais claramente.

Passo 3

Agora, vamos comparar essa equação com as formas padrão de superfícies. A equação representa um paraboloide. Dependendo dos coeficientes e , podemos identificar se é paraboloide elíptico ou hiperbolico.

Passo 4

No nosso caso, os coeficientes são e . Como ambos são positivos e diferentes, isso indica que temos um paraboloide elíptico. Isso significa que a superfície é uma espécie de “tigela” que se abre para cima.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, podemos traçar cortes da superfície em diferentes planos:
  • No plano (onde ), a equação fica , que é uma parábola.
  • No plano (onde ), a equação fica , também uma parábola.
  • No plano (onde ), a equação é , que só tem a solução e , ou seja, o ponto de origem.

Resposta

A superfície definida pela equação é um paraboloide elíptico, que pode ser esboçado usando parábolas nos planos e e identificando o ponto de origem no plano .

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