Use os traços para esboçar e identificar as superfícies:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar traços para esboçar e identificar a superfície definida pela equação
. A matéria aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como transformamos essa equação em uma forma que nos ajude a identificar o tipo de superfície e como esboçá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da superfície. Dividindo ambos os lados por 4, ficamos com:
Isso nos ajuda a ver a estrutura da equação mais claramente.
Passo 3
Agora, vamos comparar essa equação com as formas padrão de superfícies. A equação
representa um paraboloide. Dependendo dos coeficientes
e
, podemos identificar se é paraboloide elíptico ou hiperbolico.
Passo 4
No nosso caso, os coeficientes são
e
. Como ambos são positivos e diferentes, isso indica que temos um paraboloide elíptico. Isso significa que a superfície é uma espécie de “tigela” que se abre para cima.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, podemos traçar cortes da superfície em diferentes planos:
- No plano
(onde ), a equação fica , que é uma parábola. - No plano
(onde ), a equação fica , também uma parábola. - No plano
(onde ), a equação é , que só tem a solução e , ou seja, o ponto de origem.
Resposta
A superfície definida pela equação
é um paraboloide elíptico, que pode ser esboçado usando parábolas nos planos
e
e identificando o ponto de origem no plano
.