Identifique o tipo de seção cônica e encontre os principais elementos de cada uma delas (vértices, assíntotas, focos, centros). Esboce-as.
3 x^2+8 y=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos identificar que tipo de seção cônica é representada pela equação e encontrar seus principais elementos, como vértices, assíntotas, focos e centros. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica sobre seções cônicas.

Passo 2

Vamos começar reorganizando a equação para identificar melhor a seção cônica. A equação dada é:
3x^2 + 8y = 0
Podemos isolar 8y = -3x^2 implies y = -38x^2 :
Essa é a equação de uma parábola.

Passo 3

Sabemos que a equação geral de uma parábola que abre para cima ou para baixo é:
y = ax^2 + bx + c
No nosso caso, , e . Como o coeficiente de é negativo, a parábola abre para baixo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os principais elementos da parábola:
  • Vértice: Para a equação 14a = 14 times -38 = 1-32 = -23 , o vértice está na origem y = -(-23) = 23 .
  • Foco: A fórmula para a coordenada do foco em uma parábola vertical é . Substituindo :
Então, o foco está em .
  • Diretriz: A equação da diretriz é . Substituindo:

Passo 5

Para esboçar a parábola:
  1. Vértice em .
  2. Foco em .
  3. Diretriz na reta .
  4. A parábola abre para baixo.

Resposta

A equação representa uma parábola que abre para baixo, com vértice na origem , foco em e diretriz na reta .

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