Dada a equação . Determine os pontos de valor máximo, mínimo local ou ponto de sela.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar os pontos onde ela atinge valores máximos, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente sobre derivadas parciais e a matriz Hessiana.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os pontos onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 3

Agora, igualamos cada derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações formado pelos (1) e (2). Da equação (2):
Substituindo na equação (1):
Então, .
Portanto, o ponto crítico é .

Passo 5

Para determinar se esse ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela, vamos analisar a matriz Hessiana, que é formada pelas segundas derivadas parciais da função.
Calculando as segundas derivadas:
A matriz Hessiana fica:

Passo 6

Vamos calcular o determinante da Hessiana para saber a natureza do ponto crítico:
Como o determinante é positivo ( ) e , isso indica que o ponto crítico é um ponto de máximo local.

Resposta

A função possui um ponto de máximo local no ponto .

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