Dada a equação
. Determine os pontos de valor máximo, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar os pontos onde ela atinge valores máximos, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente sobre derivadas parciais e a matriz Hessiana.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os pontos onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 3
Agora, igualamos cada derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações formado pelos (1) e (2). Da equação (2):
Substituindo
na equação (1):
Então,
.
Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 5
Para determinar se esse ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela, vamos analisar a matriz Hessiana, que é formada pelas segundas derivadas parciais da função.
Calculando as segundas derivadas:
A matriz Hessiana
fica:
Passo 6
Vamos calcular o determinante da Hessiana para saber a natureza do ponto crítico:
Como o determinante é positivo (
) e
, isso indica que o ponto crítico é um ponto de máximo local.
Resposta
A função
possui um ponto de máximo local no ponto
.
Exercícios relacionados
A tempera num ponto
é dada por
, onde
é medido em graus Celsius e x, y e
em metros.
b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P?
b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P?
Seja
. Mostre que:
A tempera num ponto
é dada por
, onde
é medido em graus Celsius e x, y e
em metros.
c) Encontre a taxa máxima de crescimento em .
c) Encontre a taxa máxima de crescimento em
Determine a área da parte do paraboloide
que está abaixo do plano
.
Resposta:
Resposta: