A tempera num ponto
é dada por
, onde
é medido em graus Celsius e x, y e
em metros.
c) Encontre a taxa máxima de crescimento em
.
c) Encontre a taxa máxima de crescimento em
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a taxa máxima de crescimento da temperatura em um ponto
. Esse problema está relacionado ao cálculo de derivadas parciais e ao conceito de gradiente em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar conhecer como calcular o gradiente da função da temperatura e determinar sua magnitude.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa taxa máxima de crescimento. Em cálculo multivariável, a taxa máxima de crescimento de uma função em um ponto é dada pela magnitude do gradiente dessa função naquele ponto. O gradiente é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente
é composto pelas derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Portanto, o gradiente é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a magnitude do gradiente, que representa a taxa máxima de crescimento:
Simplificando:
Resposta
A taxa máxima de crescimento da temperatura no ponto
é dada por:
Exercícios relacionados
Dada a equação
. Determine os pontos de valor máximo, mínimo local ou ponto de sela.
A tempera num ponto
é dada por
, onde
é medido em graus Celsius e x, y e
em metros.
b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P?
b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P?
Determine a área da parte do paraboloide
que está abaixo do plano
.
Resposta:
Resposta:
Encontre o centro de massa de um funil cônico de equação
com altura
e densidade superficial de massa uniforme.
Resposta:
Resposta: