A tempera num ponto (x, y, z) é dada por T(x, y, z) = 200^(-x^2 - 3y^2 - 9z^2), onde T é medido em graus Celsius e x, y e z em metros.
c) Encontre a taxa máxima de crescimento em P.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a taxa máxima de crescimento da temperatura em um ponto . Esse problema está relacionado ao cálculo de derivadas parciais e ao conceito de gradiente em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar conhecer como calcular o gradiente da função da temperatura e determinar sua magnitude.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa taxa máxima de crescimento. Em cálculo multivariável, a taxa máxima de crescimento de uma função em um ponto é dada pela magnitude do gradiente dessa função naquele ponto. O gradiente é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é composto pelas derivadas parciais de em relação a , e :

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Portanto, o gradiente é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a magnitude do gradiente, que representa a taxa máxima de crescimento:
Simplificando:

Resposta

A taxa máxima de crescimento da temperatura no ponto é dada por:

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