Seja
. Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos mostrar que as segundas derivadas parciais mistas são iguais, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e derivadas mistas. Vou te guiar passo a passo para que fique tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
. A derivada parcial em relação a
trata
e
como constantes.
Explicando: Derivando
em relação a
, temos
, e a derivada de
em relação a
é zero, já que não há
nessa parte.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial mista
. Isso significa que primeiro derivamos em relação a
e depois em relação a
.
Já vimos que:
Agora, derivamos
em rela�o a
:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial mista
. Primeiro, derivamos
em relação a
, que já fizemos:
Agora, derivamos
em relação a
. Mas
não depende de
, então a derivada é zero:
Então,
Passo 5
Agora, vamos comparar as duas segundas derivadas parciais mistas que calculamos:
Vemos que
não é igual a zero para valores de
reais, a menos que
vá para menos infinito, o que não é o caso geral.
Resposta
Portanto, a igualdade
não é verdadeira para a função dada
.