Seja f(x, y)=y e^x+x ln (z). Mostre que:
partial^2 fpartial x partial y=partial^2 fpartial z partial y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função partial^2 fpartial x partial y = partial^2 fpartial z partial y e precisamos mostrar que as segundas derivadas parciais mistas são iguais, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e derivadas mistas. Vou te guiar passo a passo para que fique tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial fpartial y = e^x em relação a . A derivada parcial em relação a trata e como constantes.
Explicando: Derivando em relação a , temos , e a derivada de em relação a é zero, já que não há nessa parte.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial mista partial fpartial y = e^x . Isso significa que primeiro derivamos em relação a partialpartial x ( partial fpartial y ) = partialpartial x (e^x) = e^x e depois em relação a partial^2 fpartial x partial y = e^x .
Já vimos que:
Agora, derivamos em rela�o a :
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial mista partial fpartial y = e^x . Primeiro, derivamos partialpartial z ( partial fpartial y ) = partialpartial z (e^x) = 0 em relação a partial^2 fpartial z partial y = 0 , que já fizemos:
Agora, derivamos em relação a . Mas não depende de , então a derivada é zero:
Então,

Passo 5

Agora, vamos comparar as duas segundas derivadas parciais mistas que calculamos:
partial^2 fpartial x partial y = e^x
partial^2 fpartial z partial y = 0
Vemos que não é igual a zero para valores de reais, a menos que vá para menos infinito, o que não é o caso geral.

Resposta

Portanto, a igualdade não é verdadeira para a função dada .

Exercícios relacionados