Seja . Mostre que:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos mostrar que as segundas derivadas parciais mistas são iguais, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e derivadas mistas. Vou te guiar passo a passo para que fique tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a . A derivada parcial em relação a trata e como constantes.
Explicando: Derivando em relação a , temos , e a derivada de em relação a é zero, já que não há nessa parte.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial mista . Isso significa que primeiro derivamos em relação a e depois em relação a .
Já vimos que:
Agora, derivamos em rela�o a :
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial mista . Primeiro, derivamos em relação a , que já fizemos:
Agora, derivamos em relação a . Mas não depende de , então a derivada é zero:
Então,

Passo 5

Agora, vamos comparar as duas segundas derivadas parciais mistas que calculamos:
Vemos que não é igual a zero para valores de reais, a menos que vá para menos infinito, o que não é o caso geral.

Resposta

Portanto, a igualdade não é verdadeira para a função dada .

Exercícios relacionados

Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre:
a)
potencial elétrico em é dado por . Ache a taxa de variação de em na direção de para a origem.
A tempera num ponto é dada por , onde é medido em graus Celsius e x, y e em metros.
b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P?
Dada a equação . Determine os pontos de valor máximo, mínimo local ou ponto de sela.