A tempera num ponto
é dada por
, onde
é medido em graus Celsius e x, y e
em metros.
b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P?
b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P?
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que envolve a temperatura em um ponto específico no espaço, definida pela função
. O que a gente precisa descobrir é qual é a direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos dá exatamente essa direção de maior crescimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função multivariável é um vetor que aponta na direção de maior taxa de aumento da função. Matemáticamente, o gradiente de
é representado por
e é composto pelas derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis:
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Podemos usar a regra da cadeia para derivar essa função.
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Simplificando:
Passo 5
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Simplificando:
Passo 6
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, juntando todas as derivadas parciais, o vetor gradiente
é:
Este vetor aponta na direção de maior crescimento da temperatura no ponto
.
Resposta
A direção de maior crescimento da temperatura em
é dada pelo vetor gradiente:
Esse vetor aponta na direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente no ponto considerado.
Exercícios relacionados
Seja
. Mostre que:
Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre:
a)
a)
Dada a equação
. Determine os pontos de valor máximo, mínimo local ou ponto de sela.
A tempera num ponto
é dada por
, onde
é medido em graus Celsius e x, y e
em metros.
c) Encontre a taxa máxima de crescimento em .
c) Encontre a taxa máxima de crescimento em