A tempera num ponto (x, y, z) é dada por T(x, y, z) = 200^(-x^2 - 3y^2 - 9z^2), onde T é medido em graus Celsius e x, y e z em metros.
b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P?

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que envolve a temperatura em um ponto específico no espaço, definida pela função . O que a gente precisa descobrir é qual é a direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos dá exatamente essa direção de maior crescimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função multivariável é um vetor que aponta na direção de maior taxa de aumento da função. Matemáticamente, o gradiente de é representado por e é composto pelas derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis: , e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e . Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Podemos usar a regra da cadeia para derivar essa função.

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a :
Simplificando:

Passo 5

Calculando a derivada parcial em relação a :
Simplificando:

Passo 6

Calculando a derivada parcial em relação a :
Simplificando:

Passo 7

Agora, juntando todas as derivadas parciais, o vetor gradiente é:
Este vetor aponta na direção de maior crescimento da temperatura no ponto .

Resposta

A direção de maior crescimento da temperatura em é dada pelo vetor gradiente:
Esse vetor aponta na direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente no ponto considerado.

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