Seja o plano que passa pelos pontos e . Seja o plano que passa por e é paralelo aos vetores e . Seja o plano de equação vetorial . Escreva as equações gerais de e . Além disso, mostre que a interseção dos planos e se reduz a um único ponto e determine-o.
Passo 1
Então, vamos resumir o que a gente tem aqui: temos três planos no espaço tridimensional, chamados de , e . O exercício pede para escrever as equações gerais de cada um desses planos. Depois, precisamos mostrar que a interseção desses três planos resulta em um único ponto e encontrar esse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica como equações de planos, vetores normais e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a equação do plano que passa pelos pontos , e . Para encontrar a equação geral de um plano, precisamos de um vetor normal ao plano. Podemos obter esse vetor normal calculando o produto vetorial dos vetores e .
Passo 3
Calculando os vetores e :
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial para encontrar o vetor normal do plano :
Então, n1 = (1,1,1).
Passo 5
Com o vetor normal n1 = (1,1,1) e sabendo que o plano passa pelo ponto A=(1,0,0), podemos escrever a equação geral do plano pi1 usando a fórmula:
1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0 Rightarrow x + y + z - 1 = 0
Portanto, a equação geral de pi1 é:
x + y + z = 1
Passo 6
Agora, vamos encontrar a equação do plano pi2 que passa pelo ponto Q=(-1,-1,0) e é paralelo aos vetores v=(0,1,-1) e w=(1,0,1). Para isso, precisamos encontrar um vetor normal ao plano pi2, que será perpendicular aos vetores v e w.
Passo 7
Calculando o produto vetorial v times w para encontrar o vetor normal n2:
Com o vetor normal n2 = (1,-1,-1) e passando pelo ponto Q=(-1,-1,0), a equação geral do plano pi2 é:
1(x + 1) -1(y +1) -1(z -0) = 0 Rightarrow x +1 - y -1 - z =0 Rightarrow x - y - z =0
Portanto, a equação geral de pi2 é:
x - y - z =0
Passo 9
Por fim, vamos determinar a equação do plano pi3 dada pela equação vetorial X=(1,1,1)+alpha(-2,1,0)+beta(1,0,1). O vetor diretor do plano são d1=(-2,1,0) e d2=(1,0,1). Para encontrar a equação geral, precisamos do vetor normal n3, que é o produto vetorial desses vetores diretores.