Seja pi1 o plano que passa pelos pontos A=(1,0,0), B=(0,1,0) e C=(0,0,1). Seja pi2 o plano que passa por Q=(-1,-1,0) e é paralelo aos vetores v=(0,1,-1) e w=(1,0,1). Seja pi3 o plano de equação vetorial X=(1,1,1)+alpha(-2,1,0)+beta(1,0,1). Escreva as equações gerais de pi1, pi2 e pi3. Além disso, mostre que a interseção dos planos pi1, pi2 e pi3 se reduz a um único ponto e determine-o.

Passo 1

Então, vamos resumir o que a gente tem aqui: temos três planos no espaço tridimensional, chamados de pi1, pi2 e pi3. O exercício pede para escrever as equações gerais de cada um desses planos. Depois, precisamos mostrar que a interseção desses três planos resulta em um único ponto e encontrar esse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica como equações de planos, vetores normais e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a equação do plano pi1 que passa pelos pontos A=(1,0,0), B=(0,1,0) e C=(0,0,1). Para encontrar a equação geral de um plano, precisamos de um vetor normal ao plano. Podemos obter esse vetor normal calculando o produto vetorial dos vetores AB e AC.

Passo 3

Calculando os vetores AB e AC:
AB = B - A = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1,1,0)
AC = C - A = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1,0,1)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial AB times AC para encontrar o vetor normal n1 do plano pi1:
n1 = AB times AC = i & j & k -1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 = (1 cdot 1 - 0 cdot 0)i - (-1 cdot 1 - 0 cdot -1)j + (-1 cdot 0 - 1 cdot -1)k = (1)i - (-1)j + (1)k = i + j + k
Então, n1 = (1,1,1).

Passo 5

Com o vetor normal n1 = (1,1,1) e sabendo que o plano passa pelo ponto A=(1,0,0), podemos escrever a equação geral do plano pi1 usando a fórmula:
1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0 Rightarrow x + y + z - 1 = 0
Portanto, a equação geral de pi1 é:
x + y + z = 1

Passo 6

Agora, vamos encontrar a equação do plano pi2 que passa pelo ponto Q=(-1,-1,0) e é paralelo aos vetores v=(0,1,-1) e w=(1,0,1). Para isso, precisamos encontrar um vetor normal ao plano pi2, que será perpendicular aos vetores v e w.

Passo 7

Calculando o produto vetorial v times w para encontrar o vetor normal n2:
n2 = v times w = i & j & k 0 & 1 & -1 1 & 0 & 1 = (1 cdot 1 - (-1) cdot 0)i - (0 cdot 1 - (-1) cdot 1)j + (0 cdot 0 - 1 cdot 1)k = (1)i - (1)j + (-1)k
Então, n2 = (1,-1,-1).

Passo 8

Com o vetor normal n2 = (1,-1,-1) e passando pelo ponto Q=(-1,-1,0), a equação geral do plano pi2 é:
1(x + 1) -1(y +1) -1(z -0) = 0 Rightarrow x +1 - y -1 - z =0 Rightarrow x - y - z =0
Portanto, a equação geral de pi2 é:
x - y - z =0

Passo 9

Por fim, vamos determinar a equação do plano pi3 dada pela equação vetorial X=(1,1,1)+alpha(-2,1,0)+beta(1,0,1). O vetor diretor do plano são d1=(-2,1,0) e d2=(1,0,1). Para encontrar a equação geral, precisamos do vetor normal n3, que é o produto vetorial desses vetores diretores.

Passo 10

Calculando o produto vetorial d1 times d2:
n3 = d1 times d2 = i & j & k -2 & 1 & 0 1 & 0 & 1 = (1 cdot 1 - 0 cdot 0)i - (-2 cdot 1 - 0 cdot1)j + (-2 cdot 0 -1 cdot1)k = (1)i - (-2)j + (-1)k = i + 2j - k
Então, n3 = (1,2,-1).

Passo 11

Com o vetor normal n3 = (1,2,-1) e passando pelo ponto (1,1,1), a equação geral do plano pi3 é:
1(x -1) + 2(y -1) -1(z -1) =0 Rightarrow x -1 + 2y -2 -z +1 =0 Rightarrow x +2y -z -2 =0
Portanto, a equação geral de pi3 é:
x + 2y - z =2

Passo 12

Agora que temos as equações gerais dos três planos:
pi1: x + y + z =1
pi2: x - y - z =0
pi3: x + 2y - z =2
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar a interseção dos planos, ou seja, o ponto que satisfaz todas as três equações simultaneamente.

Passo 13

Vamos resolver o sistema:
x + y + z =1 x - y - z =0 x + 2y - z =2
Primeiro, somamos a primeira e a segunda equação para eliminar y e z:
(x + y + z) + (x - y - z) =1 +0 Rightarrow 2x =1 Rightarrow x =12

Passo 14

Com x = 12, vamos substituir na segunda equação:
12 - y - z =0 Rightarrow y + z = 12
Vamos chamar essa de Equação (4).

Passo 15

Agora, substituímos x = 12 na terceira equação:
12 + 2y - z =2 Rightarrow 2y - z = 32
Chamaremos essa de Equação (5).

Passo 16

Temos agora duas equações com y e z:
y + z = 12 (Equação 4) 2y - z = 32 (Equação 5) çãçã
Somando as duas equações para eliminar z:
y + z + 2y - z = 12 + 32 Rightarrow 3y =2 Rightarrow y = 23

Passo 17

Com y = 23, substituímos na Equação (4) para encontrar z:
23 + z = 12 Rightarrow z = 12 - 23 = -16

Passo 18

Portanto, a interseção dos planos pi1, pi2 e pi3 é o ponto:
( 12, 23, -16 )

Resposta

A interseção dos planos pi1, pi2 e pi3 se reduz ao ponto ( dfrac12, dfrac23, -dfrac16 ).

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