( )Se f(x, y) é diferenciável em (a, b) então suas derivadas parciais são contínuas em (a ,b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz: "Se
é diferenciável em
, então suas derivadas parciais são contínuas em
". A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade e continuidade das derivadas parciais. Para resolver, vamos entender o que significa ser diferenciável e se isso garante que as derivadas parciais sejam contínuas nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é ser diferenciável em um ponto. Uma função
é diferenciável em
se ela pode ser aproximada por uma função linear perto desse ponto. Isso implica que as derivadas parciais
e
existem em
.
Passo 3
Mas será que a existência das derivadas parciais garante que elas sejam contínuas nesse ponto? Continuar uma função significa que, se nos aproximarmos de
de qualquer direção, o valor das derivadas parciais vai se aproximar de um valor específico.
Passo 4
Na verdade, a diferenciabilidade em
só garante que as derivadas parciais existem naquele ponto, mas não necessariamente que elas são contínuas ali. Ou seja, pode haver situações onde as derivadas parciais existem em
, mas não são contínuas quando nos aproximamos de
.
Passo 5
Para ilustrar, considere a função:
Essa função é diferenciável em
, mas suas derivadas parciais não são contínuas nesse ponto.
Resposta
Não, a afirmação é falsa. A diferenciabilidade em
não garante que as derivadas parciais sejam contínuas em
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios 8 a 12 é dado
. Determinar um número
para o
dado tal que
sempre que
.
12. .
12.
Encontrar uma fórmula para o fator integrante que transforme a EDO não exata em exata, e em seguida, resolvê-la:
.
Dada a equação da hipérbole:
Esboce o gráfico, identificando os vértices e assíntotas.
Dê exemplo de uma Função
não diferenciável que admite as derivadas num ponto (a , b)