( )Se f(x, y) é diferenciável em (a, b) então suas derivadas parciais são contínuas em (a ,b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz: "Se é diferenciável em , então suas derivadas parciais são contínuas em ". A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade e continuidade das derivadas parciais. Para resolver, vamos entender o que significa ser diferenciável e se isso garante que as derivadas parciais sejam contínuas nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em se ela pode ser aproximada por uma função linear perto desse ponto. Isso implica que as derivadas parciais e existem em .

Passo 3

Mas será que a existência das derivadas parciais garante que elas sejam contínuas nesse ponto? Continuar uma função significa que, se nos aproximarmos de de qualquer direção, o valor das derivadas parciais vai se aproximar de um valor específico.

Passo 4

Na verdade, a diferenciabilidade em só garante que as derivadas parciais existem naquele ponto, mas não necessariamente que elas são contínuas ali. Ou seja, pode haver situações onde as derivadas parciais existem em , mas não são contínuas quando nos aproximamos de .

Passo 5

Para ilustrar, considere a função:
Essa função é diferenciável em , mas suas derivadas parciais não são contínuas nesse ponto.

Resposta

Não, a afirmação é falsa. A diferenciabilidade em não garante que as derivadas parciais sejam contínuas em .

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