Nos exercícios 8 a 12 é dado lim x a f(x)=L. Determinar um número de para o varepsilon dado tal que |f(x)-L| sempre que 0<|x-a|.
12. lim x 1 x^2-1x-1=2, varepsilon=0,75.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o limite de quando se aproxima de 1 é igual a 2. Além disso, nos foi dado um . Nosso objetivo é encontrar um número tal que sempre que , então . Vamos usar a definição de limite para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função f(x) = (x-1)(x+1)x-1 . Observamos que o numerador f(x) = x + 1 pode ser fatorado como limx to 1 (x + 1) = 2 . Então:
Para , podemos cancelar :
Então, o limite se simplifica para:

Passo 3

Agora, queremos garantir que |x + 1 - 2| < 0,75 . Substituindo |x - 1| < 0,75 :
Simplificando dentro do valor absoluto:

Passo 4

Nossa meta agora é encontrar |x - 1| < 0,75 tal que sempre que , a desigualdade acima seja verdadeira. Observamos que a condição já está em termos de :
Para garantir que isso ocorra, podemos simplesmente escolher .

Resposta

Portanto, um valor válido para é . Assim, sempre que , teremos .

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