Nos exercícios 8 a 12 é dado . Determinar um número para o dado tal que sempre que .
12. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o limite de quando se aproxima de 1 é igual a 2. Além disso, nos foi dado um . Nosso objetivo é encontrar um número tal que sempre que , então . Vamos usar a definição de limite para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Observamos que o numerador pode ser fatorado como . Então:
Para , podemos cancelar :
Então, o limite se simplifica para:

Passo 3

Agora, queremos garantir que . Substituindo :
Simplificando dentro do valor absoluto:

Passo 4

Nossa meta agora é encontrar tal que sempre que , a desigualdade acima seja verdadeira. Observamos que a condição já está em termos de :
Para garantir que isso ocorra, podemos simplesmente escolher .

Resposta

Portanto, um valor válido para é . Assim, sempre que , teremos .

Exercícios relacionados

Encontrar uma fórmula para o fator integrante que transforme a EDO não exata em exata, e em seguida, resolvê-la: .
Identifique as curvas de nível e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados:
( )Se f(x, y) é diferenciável em (a, b) então suas derivadas parciais são contínuas em (a ,b)
Dada a equação da hipérbole:
Esboce o gráfico, identificando os vértices e assíntotas.