Nos exercícios 8 a 12 é dado
. Determinar um número
para o
dado tal que
sempre que
.
12.
.
12.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o limite de
quando
se aproxima de 1 é igual a 2. Além disso, nos foi dado um
. Nosso objetivo é encontrar um número
tal que sempre que
, então
. Vamos usar a definição de limite para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Observamos que o numerador
pode ser fatorado como
. Então:
Para
, podemos cancelar
:
Então, o limite se simplifica para:
Passo 3
Agora, queremos garantir que
. Substituindo
:
Simplificando dentro do valor absoluto:
Passo 4
Nossa meta agora é encontrar
tal que sempre que
, a desigualdade acima seja verdadeira. Observamos que a condição já está em termos de
:
Para garantir que isso ocorra, podemos simplesmente escolher
.
Resposta
Portanto, um valor válido para
é
. Assim, sempre que
, teremos
.