Dada equação linear (x^2 - x) y''(x) - x y'(x) + y(x) = 0
(a) Ache a solução geral desta equação sabendo que uma solução particular é y1(x) = x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Sabemos que uma solução particular é . Para achar a solução geral, precisamos encontrar uma segunda solução que seja independente de y1(x). Depois, juntamos as duas soluções para formar a solução completa.

Passo 2

Para encontrar a segunda solução, vamos usar um método chamado redução de ordem. Esse método assume que a segunda solução y2(x) pode ser expressa como:
Onde v(x) é uma função que precisamos determinar.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular as derivadas de y2(x):
Como sabemos que , vamos substituir:
Então, as derivadas ficam:

Passo 4

Agora, vamos substituir y2(x), e na equação original:
Simplificando termo a termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
Somando tudo:
Simplificando:

Passo 5

Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por x (considerando x != 0):
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja:
Então, a equação fica:

Passo 6

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para w(x). Podemos escrevê-la na forma padrão:
Para resolver, encontramos o fator integrante mu(x):
Simplificando a fração:
Resolvendo, encontramos e . Então,

Passo 7

Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Então,
Lembrando que :

Passo 8

Integrando para encontrar v(x):
Fatorando a constante C:
Podemos reescrever a fração:
Então,
Onde D é a constante de integração, mas podemos absorvê-la na constante geral.

Passo 9

Agora, lembrando que:
Substituindo v(x):
Como estamos buscando uma solução independente linearmente, ignoramos a constante C e tomamos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados