Dada equação linear
(a) Ache a solução geral desta equação sabendo que uma solução particular é
.
(a) Ache a solução geral desta equação sabendo que uma solução particular é
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Sabemos que uma solução particular é
. Para achar a solução geral, precisamos encontrar uma segunda solução que seja independente de
. Depois, juntamos as duas soluções para formar a solução completa.
Passo 2
Para encontrar a segunda solução, vamos usar um método chamado redução de ordem. Esse método assume que a segunda solução
pode ser expressa como:
Onde
é uma função que precisamos determinar.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
:
Como sabemos que
, vamos substituir:
Então, as derivadas ficam:
Passo 4
Agora, vamos substituir
,
e
na equação original:
Simplificando termo a termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Somando tudo:
Simplificando:
Passo 5
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por
(considerando
):
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja:
Então, a equação fica:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para
. Podemos escrevê-la na forma padrão:
Para resolver, encontramos o fator integrante
:
Simplificando a fração:
Resolvendo, encontramos
e
. Então,
Passo 7
Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Então,
Lembrando que
:
Passo 8
Integrando
para encontrar
:
Fatorando a constante
:
Podemos reescrever a fração:
Então,
Onde
é a constante de integração, mas podemos absorvê-la na constante geral.
Passo 9
Agora, lembrando que:
Substituindo
:
Como estamos buscando uma solução independente linearmente, ignoramos a constante
e tomamos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.