Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos
e
.
b)
b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a função
e precisamos determinar suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem nos pontos
e
. Para isso, vamos utilizar o conceito de derivadas parciais, que nos permite calcular a taxa de variação da função em relação a uma variável enquanto mantemos a outra constante.
Passo 2
Vamos começar encontrando as derivadas parciais de primeira ordem de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é calculada tratando
como uma constante:
Calculando termo a termo:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Calculando termo a termo:
Passo 3
Em seguida, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem.
Primeiro, a derivada segunda em relação a
:
Depois, a derivada mista, primeira em
e depois em
:
E finalmente, a derivada segunda em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar todas essas derivadas nos pontos
e
.
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
são:
-
No ponto
: -
No ponto
: