Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos e .
b)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a função e precisamos determinar suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem nos pontos e . Para isso, vamos utilizar o conceito de derivadas parciais, que nos permite calcular a taxa de variação da função em relação a uma variável enquanto mantemos a outra constante.

Passo 2

Vamos começar encontrando as derivadas parciais de primeira ordem de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é calculada tratando como uma constante:
Calculando termo a termo:
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Calculando termo a termo:

Passo 3

Em seguida, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem.
Primeiro, a derivada segunda em relação a :
Depois, a derivada mista, primeira em e depois em :
E finalmente, a derivada segunda em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar todas essas derivadas nos pontos e .
Para o ponto :
Para o ponto :

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função são:
  • No ponto :
  • No ponto :

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(a) Ache a solução geral desta equação.