Dada uma equação linear homogênea .
(a) Encontre o conjunto fundamendal para esta equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem: . Nosso objetivo é encontrar o conjunto fundamental dessa equação. Para isso, vamos precisar usar o método das equações características, que ajuda a resolver equações lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é .
No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Substituindo:
Como temos a raiz de um número negativo ( ), os valores de são complexos:

Passo 4

Quando a equação característica tem raízes complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é dada por:
No nosso caso, e , então a solução geral fica:

Resposta

O conjunto fundamental para a equação dada é:

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(b)
Meia-vida do isótopo de é 12 segundos.
(a) Quanto tempo se desintegram de ?
Determine as equações dos planos tangentes e normal ao gráfico de que passam por ambos os pontos e .
Dada uma equação linear homogênea .
(b) Prove que esse conjunto é linearmente independente.