Dada uma equação linear homogênea
.
(a) Encontre o conjunto fundamendal para esta equação.
(a) Encontre o conjunto fundamendal para esta equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem:
. Nosso objetivo é encontrar o conjunto fundamental dessa equação. Para isso, vamos precisar usar o método das equações características, que ajuda a resolver equações lineares com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação da forma
, a equação característica é
.
No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Substituindo:
Como temos a raiz de um número negativo (
), os valores de
são complexos:
Passo 4
Quando a equação característica tem raízes complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
No nosso caso,
e
, então a solução geral fica:
Resposta
O conjunto fundamental para a equação dada é: