Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Primeiro, vamos entender o que precisamos. Vamos separar a resolução em duas partes: a solução geral da equação homogênea associada () e uma solução particular para a equação completa (). Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e métodos para encontrar soluções particulares.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a equação homogênea:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma . Substituindo na equação:
Dividindo por (que nunca é zero):
Então, temos:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Vamos dividir isso em duas partes: uma para e outra para .
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar a solução particular para . Suponhamos uma solução da forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo:
Então,
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular para . Como o termo for , precisamos considerar uma solução da forma:
Calculando as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Para que isso valha para todos os , os coeficientes devem ser iguais:
Resolvendo este sistema, percebemos que há inconsistências, o que significa que nossa suposição inicial para a forma da solução particular precisa ser ajustada. Por isso, vamos tentar uma solução da forma:
Nota: Isso ocorre porque os termos e já aparecem na solução homogênea, então multiplicamos por adicional para encontrar uma solução particular adequada.
Após cálculos similares aos anteriores, encontramos os valores de e . Para simplificar, vamos adotar a solução particular já conhecida:
Passo 6
Agora, juntando a solução homogênea com as soluções particulares, temos a solução geral da equação diferencial: