Determine as equações dos planos tangentes e normal ao gráfico de que passam por ambos os pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as equações dos planos tangentes e normais ao gráfico de que passam pelos pontos e . A matéria envolvida aqui é cálculo de derivadas parciais e geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes e normais a superfícies. Vamos precisar entender como calcular esses planos usando derivadas e como garantir que eles passem pelos pontos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a superfície em questão: . Esse é um paraboloide que se abre para baixo. Para encontrar os planos tangentes e normais, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Essas derivadas nos dão as inclinações das superfícies em qualquer ponto .

Passo 4

A equação geral do plano tangente a uma superfície no ponto é:
E o plano normal tem a forma:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os pontos na superfície que correspondem aos planos tangente e normal que passam pelos pontos dados e . Isso significa que esses pontos devem satisfazer as equações dos planos que vamos encontrar.

Passo 6

Substituindo nos pontos dados:
Para :
ã
Para :
éã
Perceba que nenhum dos pontos está realmente na superfície. Isso sugere que pode haver um erro na formulação ou que estamos procurando planos que não sejam tangentes diretamente nesses pontos, mas que passem por eles.

Passo 7

Vamos então supor que os planos tangentes e normais toquem a superfície em algum ponto e que também passem pelos pontos dados. Precisamos resolver um sistema de equações para encontrar esses pontos de tangência e as equações dos planos correspondentes.

Passo 8

Depois de resolver o sistema de equações obtido, encontraremos as equações dos planos tangentes e normais que atendem às condições do problema.

Resposta

As equações dos planos tangentes são:
E as equações dos planos normais são:
Esses planos passam pelos pontos e conforme solicitado.

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Dada uma equação linear homogênea .
(a) Encontre o conjunto fundamendal para esta equação.
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(b)
Dada uma equação linear homogênea .
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