Dada uma equação linear homogênea .
(b) Prove que esse conjunto é linearmente independente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial linear homogênea dada por:
O que a gente precisa fazer aqui é provar que o conjunto de soluções dessa equação é linearmente independente. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e de independência linear de funções. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, para resolver essa equação diferencial, vamos encontrar as soluções gerais. Como é uma equação linear homogênea de segunda ordem, a solução geral será uma combinação linear das duas soluções independentes. Para achar essas soluções, precisamos resolver a equação característica associada.

Passo 3

A equação característica para a equação diferencial é:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, a raiz quadrada de um número negativo indica que as soluções são complexas.

Passo 5

Simplificando a raiz quadrada:
Portanto, os valores de são:

Passo 6

Com raízes complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e , então:

Passo 7

Agora, temos duas soluções independentes:
Queremos provar que essas funções são linearmente independentes.

Passo 8

Para provar que e são linearmente independentes, usamos o Wronskiano. O Wronskiano é dado por:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, as funções são linearmente independentes.

Passo 9

Vamos calcular as derivadas das funções:
Primeira derivada de :
Primeira derivada de :

Passo 10

Agora, montamos o Wronskiano:
Vamos calcular esse determinante.

Passo 11

Multiplicando as diagonais:

Passo 12

Subtraindo as duas expressões:
Simplificando:

Passo 13

Fatorando :
Sabemos que , então:

Passo 14

O Wronskiano é sempre diferente de zero para qualquer valor de , já que nunca é zero.

Resposta

Como o Wronskiano é diferente de zero para todo , as soluções e são linearmente independentes. Portanto, o conjunto de soluções é linearmente independente.

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Determine as equações dos planos tangentes e normal ao gráfico de que passam por ambos os pontos e .
Dada uma equação linear homogênea .
(a) Encontre o conjunto fundamendal para esta equação.
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Dada uma equação linear .
(a) Encontre o conjunto fundamendal para sua parte homogênea.