Dada uma equação linear homogênea .
(b) Prove que esse conjunto é linearmente independente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial linear homogênea dada por:
O que a gente precisa fazer aqui é provar que o conjunto de soluções dessa equação é linearmente independente. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e de independência linear de funções. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, para resolver essa equação diferencial, vamos encontrar as soluções gerais. Como é uma equação linear homogênea de segunda ordem, a solução geral será uma combinação linear das duas soluções independentes. Para achar essas soluções, precisamos resolver a equação característica associada.
Passo 3
A equação característica para a equação diferencial é:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .
Passo 4
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, a raiz quadrada de um número negativo indica que as soluções são complexas.
Passo 5
Simplificando a raiz quadrada:
Portanto, os valores de são:
Passo 6
Com raízes complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e , então:
Passo 7
Agora, temos duas soluções independentes:
Queremos provar que essas funções são linearmente independentes.
Passo 8
Para provar que e são linearmente independentes, usamos o Wronskiano. O Wronskiano é dado por:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, as funções são linearmente independentes.
Passo 9
Vamos calcular as derivadas das funções:
Primeira derivada de :
Primeira derivada de :
Passo 10
Agora, montamos o Wronskiano:
Vamos calcular esse determinante.
Passo 11
Multiplicando as diagonais:
Passo 12
Subtraindo as duas expressões:
Simplificando:
Passo 13
Fatorando :
Sabemos que , então:
Passo 14
O Wronskiano é sempre diferente de zero para qualquer valor de , já que nunca é zero.
Resposta
Como o Wronskiano é diferente de zero para todo , as soluções e são linearmente independentes. Portanto, o conjunto de soluções é linearmente independente.