Dada uma equação linear
.
(a) Encontre o conjunto fundamendal para sua parte homogênea.
(a) Encontre o conjunto fundamendal para sua parte homogênea.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o conjunto fundamental da parte homogênea da equação diferencial dada:
Então, a gente vai focar na parte homogênea dessa equação, que é:
Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com equações diferenciais lineares homogêneas e encontrar soluções que formam o conjunto fundamental.
Passo 2
Primeiro, a gente assume que a solução da equação homogênea tem a forma de uma função exponencial:
onde
é um número que vamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos derivar
para substituir na equação homogênea:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na equação homogênea:
Podemos fatorar
que nunca é zero:
Como
, fica:
Passo 5
Vamos resolver a equação característica:
Podemos fatorar:
Agora, resolvemos cada fator:
-
. -
. Resolvendo a segunda equação:
Então, temos uma raiz simples
e uma raiz dupla
.
Passo 6
Com as raízes encontradas, podemos escrever as soluções básicas:
- Para
:
- Para
com multiplicidade 2:
Resposta
O conjunto fundamental para a parte homogênea da equação é: