Dada uma equação linear
.
(a) Encontre o conjunto fundamendal para sua parte homogênea.
(a) Encontre o conjunto fundamendal para sua parte homogênea.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o conjunto fundamental da parte homogênea da equação diferencial dada:
Então, a gente vai focar na parte homogênea dessa equação, que é:
Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com equações diferenciais lineares homogêneas e encontrar soluções que formam o conjunto fundamental.
Passo 2
Primeiro, a gente assume que a solução da equação homogênea tem a forma de uma função exponencial:
onde
é um número que vamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos derivar
para substituir na equação homogênea:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na equação homogênea:
Podemos fatorar
que nunca é zero:
Como
, fica:
Passo 5
Vamos resolver a equação característica:
Podemos fatorar:
Agora, resolvemos cada fator:
-
. -
. Resolvendo a segunda equação:
Então, temos uma raiz simples
e uma raiz dupla
.
Passo 6
Com as raízes encontradas, podemos escrever as soluções básicas:
- Para
:
- Para
com multiplicidade 2:
Resposta
O conjunto fundamental para a parte homogênea da equação é:
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. Se a massa é puxada para baixo mais 2 cm e depois solta, encontre sua posição
em qualquer instante
.
Dada uma equação linear homogênea
.
(b) Prove que esse conjunto é linearmente independente.
(b) Prove que esse conjunto é linearmente independente.
Dada uma equação linear
.
(b) Ache a solução geral da equação.
(b) Ache a solução geral da equação.
Dado um circuito fechado de capacitor
, resistor
e indutor
.
(a) Qual é o período de oscilações deste sistema sem aplicação da tensão elétrica externa?
(a) Qual é o período de oscilações deste sistema sem aplicação da tensão elétrica externa?