Dada uma equação linear y'''(x) - 2y''(x) + y'(x) = 2x.
(a) Encontre o conjunto fundamendal para sua parte homogênea.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o conjunto fundamental da parte homogênea da equação diferencial dada:
Então, a gente vai focar na parte homogênea dessa equação, que é:
Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com equações diferenciais lineares homogêneas e encontrar soluções que formam o conjunto fundamental.

Passo 2

Primeiro, a gente assume que a solução da equação homogênea tem a forma de uma função exponencial:
onde é um número que vamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos derivar para substituir na equação homogênea:
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na equação homogênea:
Podemos fatorar que nunca é zero:
Como , fica:

Passo 5

Vamos resolver a equação característica:
Podemos fatorar:
Agora, resolvemos cada fator:
  1. .
  2. .
    Resolvendo a segunda equação:
Então, temos uma raiz simples e uma raiz dupla .

Passo 6

Com as raízes encontradas, podemos escrever as soluções básicas:
  1. Para :
  1. Para com multiplicidade 2:

Resposta

O conjunto fundamental para a parte homogênea da equação é:

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