Uma massa de 20 g estica uma mola 5 cm . Suponha que a massa também está presa um amortecedor viscoso com uma constante de amortecimento de 400 dinas.s . Se a massa é puxada para baixo mais 2 cm e depois solta, encontre sua posição em qualquer instante .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma massa de 20 g que estica uma mola em 5 cm e está conectada a um amortecedor viscoso com constante de amortecimento de 400 dinas·s/cm. Quando puxamos a massa para baixo mais 2 cm e a soltamos, queremos descobrir a posição da massa em qualquer instante . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de sistemas massa-mola amortecidos, que envolvem equações diferenciais para descrever o movimento da massa.

Passo 2

Primeiro, precisamos converter as unidades para manter a consistência. A massa é de 20 g, que corresponde a 0,020 kg. A constante de amortecimento é de 400 dinas·s/cm. Sabendo que 1 dina = N e 1 cm = 0,01 m, então:

Passo 3

A constante da mola pode ser encontrada usando a relação . Sabemos que uma força aplicada estica a mola em cm (0,05 m). A força é fornecida pela massa, então:
Assim, a constante da mola é:

Passo 4

A equação do movimento para um sistema massa-mola amortecido é dada por:
Substituindo os valores encontrados:

Passo 5

Dividimos toda a equação por 0,020 para simplificar:

Passo 6

Encontramos as raízes da equação característica associada:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é:

Passo 8

Aplicamos as condições iniciais. Quando , a massa é puxada mais 2 cm, então cm. Além disso, a velocidade inicial é zero, então .
Substituindo na solução geral:
E derivando :
Aplicando :

Passo 9

Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Então,

Passo 10

Substituímos e na solução geral:
Esta é a posição da massa em qualquer instante .

Resposta

A posição da massa em qualquer instante é:

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Dada uma equação linear homogênea .
(b) Prove que esse conjunto é linearmente independente.
Determine as equações dos planos tangentes e normal ao gráfico de que passam por ambos os pontos e .
Dada uma equação linear .
(a) Encontre o conjunto fundamendal para sua parte homogênea.
Dada uma equação linear .
(b) Ache a solução geral da equação.