Uma massa de 20 g estica uma mola 5 cm . Suponha que a massa também está presa um amortecedor viscoso com uma constante de amortecimento de 400 dinas.s . Se a massa é puxada para baixo mais 2 cm e depois solta, encontre sua posição em qualquer instante .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma massa de 20 g que estica uma mola em 5 cm e está conectada a um amortecedor viscoso com constante de amortecimento de 400 dinas·s/cm. Quando puxamos a massa para baixo mais 2 cm e a soltamos, queremos descobrir a posição da massa em qualquer instante . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de sistemas massa-mola amortecidos, que envolvem equações diferenciais para descrever o movimento da massa.
Passo 2
Primeiro, precisamos converter as unidades para manter a consistência. A massa é de 20 g, que corresponde a 0,020 kg. A constante de amortecimento é de 400 dinas·s/cm. Sabendo que 1 dina = N e 1 cm = 0,01 m, então:
Passo 3
A constante da mola pode ser encontrada usando a relação . Sabemos que uma força aplicada estica a mola em cm (0,05 m). A força é fornecida pela massa, então:
Assim, a constante da mola é:
Passo 4
A equação do movimento para um sistema massa-mola amortecido é dada por:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 5
Dividimos toda a equação por 0,020 para simplificar:
Passo 6
Encontramos as raízes da equação característica associada:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é:
Passo 8
Aplicamos as condições iniciais. Quando , a massa é puxada mais 2 cm, então cm. Além disso, a velocidade inicial é zero, então .