Dada uma equação linear
.
(b) Ache a solução geral da equação.
(b) Ache a solução geral da equação.
Passo 1
Então, temos uma equação diferencial linear de terceira ordem:
Vamos resolver isso para encontrar a solução geral da equação. Para isso, vamos precisar conhecer a teoria das equações diferenciais lineares, especificamente sobre soluções complementares e soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa parte é chamada de solução complementar. Para encontrar essa solução, vamos resolver a equação característica.
Passo 3
Escrevemos a equação característica substituindo
por
:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
.
Passo 4
Fatorando a equação característica:
Resolvendo:
e
Então,
com multiplicidade 2.
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução complementar é:
Onde
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a solução particular da equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Passo 8
Substituímos
e suas derivadas na equação original:
Isso simplifica para:
Mas isso não faz sentido porque
deveria ser uma constante. Isso indica que precisamos ajustar nossa suposição para a solução particular.
Passo 9
Como a tentativa anterior não funcionou, tentamos outra forma para
. Vamos assumir:
E repetimos o processo:
Substituindo na equação:
Novamente, isso não funciona porque
não pode depender de
. Então, precisamos tentar uma forma diferente, adicionando um termo linear.
Passo 10
Tentamos:
E por substituição encontramos que não funciona. Portanto, ajustamos para:
e concluímos que a única solução possível é:
O que não é válido. Então, precisamos tentar outra abordagem, como métodos de variação de parâmetros ou assumir uma forma diferente para
.
Passo 11
Neste caso, observando que a parte não homogênea é
, tentamos:
E vemos que não funciona. Então, ajustamos a solução particular para:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Comparando os coeficientes:
Para :
Para
Para a constante:
Passo 12
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
são constantes reais.
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Dada uma equação linear
.
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.
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.
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.
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