Dada uma equação linear .
(b) Ache a solução geral da equação.

Passo 1

Então, temos uma equação diferencial linear de terceira ordem:
Vamos resolver isso para encontrar a solução geral da equação. Para isso, vamos precisar conhecer a teoria das equações diferenciais lineares, especificamente sobre soluções complementares e soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa parte é chamada de solução complementar. Para encontrar essa solução, vamos resolver a equação característica.

Passo 3

Escrevemos a equação característica substituindo por :
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .

Passo 4

Fatorando a equação característica:
Resolvendo:
e
Então, com multiplicidade 2.

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução complementar é:
Onde são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a solução particular da equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução particular da forma:
Onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 7

Calculamos as derivadas de :

Passo 8

Substituímos e suas derivadas na equação original:
Isso simplifica para:
Mas isso não faz sentido porque deveria ser uma constante. Isso indica que precisamos ajustar nossa suposição para a solução particular.

Passo 9

Como a tentativa anterior não funcionou, tentamos outra forma para . Vamos assumir:
E repetimos o processo:
Substituindo na equação:
Novamente, isso não funciona porque não pode depender de . Então, precisamos tentar uma forma diferente, adicionando um termo linear.

Passo 10

Tentamos:
E por substituição encontramos que não funciona. Portanto, ajustamos para:
e concluímos que a única solução possível é:
O que não é válido. Então, precisamos tentar outra abordagem, como métodos de variação de parâmetros ou assumir uma forma diferente para .

Passo 11

Neste caso, observando que a parte não homogênea é , tentamos:
E vemos que não funciona. Então, ajustamos a solução particular para:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Comparando os coeficientes:
Para :
Para a constante:

Passo 12

Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde são constantes reais.

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Dada uma equação linear .
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