Sabendo que a equação d=V^x /(alpha sin theta) é dimensionalmente correta, determine o valor de x. Considere que d, alpha e V possuem dimensões de distância, aceleração e velocidade, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a equação para descobrir o valor de . O conteúdo que vamos usar aqui é análise dimensional, que ajuda a verificar se as unidades de cada lado da equação estão corretas. Vamos precisar lembrar quais são as dimensões de distância, aceleração e velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada uma das variáveis na equação:
  • é distância, então sua dimensão é (onde representa comprimento).
  • é velocidade, então sua dimensão é (comprimento por tempo).
  • é aceleração, então sua dimensão é (comprimento por tempo ao quadrado).
  • é uma função trigonométrica, que é adimensional, ou seja, não tem dimensão.

Passo 3

Agora, vamos substituir as dimensões na equação original:
[d] = [V]^x[alpha] cdot [sin theta]
Como L = (L T^-1)^xL T^-2 é adimensional, podemos simplificar para:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
L = L^x T^-xL T^-2 = L^x-1 T^-x+2
Para que a equação seja dimensionalmente correta, as dimensões dos dois lados devem ser iguais. Assim, igualamos as potências de x - 1 = 1 - x + 2 = 0 e de x - 1 = 1 Rightarrow x = 2 :
- x + 2 = 0 Rightarrow x = 2
Resolvendo o sistema:
e
Os dois valores de coincidem, confirmando a solução.

Resposta

O valor de é igual a 2.

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