Dada equação não linear .
(b) Ache a solução geral da equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma equação diferencial não linear: . Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias e técnicas de redução de ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a notação. Vamos chamar de . Então, temos:
Substituindo na equação original:
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem envolvendo e .

Passo 3

Perceba que . Então, podemos escrever . Mas também podemos expressar usando a regra da cadeia:
Substituindo na equação anterior:
Dividindo ambos os lados por (desde que ):

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial separável:
Vamos integrar ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Lembrando que , substituímos de volta:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que também é separável.

Passo 6

Vamos separar as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo dependerá do valor de , mas mantendo como constante, a integral geral fica:
Onde é outra constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes de integração.

Exercícios relacionados

Dada equação não linear .
(a) Fazendo a substitução apropriada, diminua ordem da equação.
Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos e .
c)
Meia-vida do isótopo de é 12 segundos.
(b) Qual é tempo médio da vida do isótopo de ?
Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos e .
h)