Dada equação não linear
.
(b) Ache a solução geral da equação.
(b) Ache a solução geral da equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma equação diferencial não linear:
. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias e técnicas de redução de ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a notação. Vamos chamar
de
. Então, temos:
Substituindo na equação original:
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem envolvendo
e
.
Passo 3
Perceba que
. Então, podemos escrever
. Mas também podemos expressar
usando a regra da cadeia:
Substituindo na equação anterior:
Dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial separável:
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Lembrando que
, substituímos de volta:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que também é separável.
Passo 6
Vamos separar as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo dependerá do valor de
, mas mantendo
como constante, a integral geral fica:
Onde
é outra constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes de integração.
Exercícios relacionados
Dada equação não linear
.
(a) Fazendo a substitução apropriada, diminua ordem da equação.
(a) Fazendo a substitução apropriada, diminua ordem da equação.
Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos
e
.
c)
c)
Meia-vida do isótopo de
é 12 segundos.
(b) Qual é tempo médio da vida do isótopo de ?
(b) Qual é tempo médio da vida do isótopo de
Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos
e
.
h)
h)