Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos 1,4 e -3,2.
d) f(x, y) = 2x^2 - 3x^2y^3 + x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função nos pontos e . Isso envolve um pouco de cálculo, mas vamos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. A função dada é:
Podemos combinar os termos semelhantes:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a e .
Derivada parcial em relação a :
Para derivar em relação a , tratamos como uma constante.
Derivada parcial em relação a :
Para derivar em relação a , tratamos como uma constante.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa derivar novamente as derivadas parciais de primeira ordem.
Segunda derivada parcial em relação a ( ):
Segunda derivada parcial em relação a ( ):
Derivada mista ( e ):

Passo 5

Agora vamos avaliar todas essas derivadas nos pontos e .
Para o ponto :
Para o ponto :

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função nos pontos especificados são:
  • No ponto :
  • No ponto :

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