Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos
e
.
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
nos pontos
e
. Isso envolve um pouco de cálculo, mas vamos passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. A função dada é:
Podemos combinar os termos semelhantes:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e
.
Derivada parcial em relação a
:
Para derivar em relação a
, tratamos
como uma constante.
Derivada parcial em relação a
:
Para derivar em relação a
, tratamos
como uma constante.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa derivar novamente as derivadas parciais de primeira ordem.
Segunda derivada parcial em relação a
(
):
Segunda derivada parcial em relação a
(
):
Derivada mista (
e
):
Passo 5
Agora vamos avaliar todas essas derivadas nos pontos
e
.
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
nos pontos especificados são:
-
No ponto
: -
-
No ponto
: -
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.
(b) Ache a solução geral da equação.
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.
(a) Fazendo a substitução apropriada, diminua ordem da equação.
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