Volume do tetraedro Escreva seis diferentes integrais triplas iteradas para o volume do tetraedro cortado a partir do primeiro octante pelo plano . Calcule uma das integrais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar seis integrais triplas diferentes para calcular o volume de um tetraedro que está no primeiro octante, limitado pelo plano . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais triplas, que ajudam a encontrar volumes no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um tetraedro no primeiro octante. O primeiro octante é a parte do espaço onde , e são positivos. O tetraedro que estamos considerando é formado pelas interseções do plano com os eixos , e .
Passo 3
Vamos encontrar onde o plano corta cada um dos eixos para determinar os limites de integração:
Eixo : Para encontrar onde o plano corta o eixo , deixamos e :
Eixo : Deixando e :
Eixo : Deixando e :
Então, os vértices do tetraedro são , , e .
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para as coordenadas , e . Dependendo da ordem que escolhermos para integrar (por exemplo, primeiro, depois , depois ), os limites vão variar. Vamos escolher diferentes ordens para obter seis integrais triplas distintas.
Passo 5
Aqui estão as seis integrais triplas iteradas para o volume do tetraedro:
Ordem :
Ordem :
Ordem :
Ordem :
Ordem :
Ordem :
Passo 6
Vamos calcular uma dessas integrais. Vou escolher a primeira ordem: .
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, substituímos na integral:
Integramos em relação a :
Calculando os limites:
Agora, a integral fica:
Integrando em relação a :
Ops! Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos refazer a integração com atenção:
Após a segunda integração, temos:
Integrando de a :
Ainda zero? Deve ter um erro na definição dos limites ou na ordem de integração. Vamos verificar rapidamente:
Reescrevendo os limites corretos, a integral correta deve dar: