Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos e .
h)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , e precisamos encontrar suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem nos pontos e . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais e as regras de diferenciação para funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar encontrando as derivadas parciais de primeira ordem da função em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
Simplificando:
A derivada parcial de em relação a é:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem.
A segunda derivada parcial de em relação a é:
Simplificando:
A segunda derivada parcial de em relação a é:
Simplificando:
A derivada mista é:

Passo 4

Agora, vamos calcular essas derivadas nos pontos específicos.
Para o ponto :
Calculamos .
Então:
Para o ponto :
Calculamos .
Então:

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem nos pontos solicitados são:
No ponto :
No ponto :

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