h(x) = { x, x ≥ 3; x²/3, x < 3 }
não é diferenciável em x0 = 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de fórmula quando é maior ou igual a 3 e quando é menor que 3. O exercício quer saber por que essa função não é diferenciável em . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e como calcular as derivadas laterais nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é diferenciável em um ponto se ela tem uma derivada nesse ponto. Isso significa que a função precisa ser “suave” ali, sem cantos ou saltos. Para verificar se é diferenciável em , vamos calcular a derivada pela esquerda ( se aproximando de 3 por valores menores) e pela direita ( se aproximando de 3 por valores maiores).

Passo 3

Vamos calcular a derivada pela direita. Quando , a função é . A derivada de em relação a é simplesmente 1. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada pela esquerda. Quando , a função é . A derivada de em relação a é . Avaliando em :

Passo 5

Agora, comparamos as derivadas laterais:
Como , as derivadas pela direita e pela esquerda não são iguais.

Resposta

Portanto, a função não é diferenciável em porque as derivadas laterais são diferentes.

Exercícios relacionados

Dada a equação
partial^2 upartial x^2=1k partial upartial t+betak(u-u0)
onde k, beta e u0 são constantes e as condições de fronteira
u(x, 0)=f(x), u(0, t)=u1, u(l, t)=u2
onde u1 e u2 são constantes, mostrar, por meio da substituição
u(x, t)=u0+v(x, t) e^-beta t
Use a regra da cadeia para calcular d z / d t, no ponto dado:
z = x^2 y + x y^2, x = 2 + t^4, y = 1 - t^3, em t = 1
Em cada item abaixo, determine f'(x).
(a) f(x)=-4.
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função f no ponto x_0 indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(a) f(x) = x^2, x0 = 3