Dada a equação
onde e são constantes, determine as constantes e de tal modo que, ao usarmos a mudança de variáveis e , a expressão acima resulta em

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação envolvendo derivadas parciais de segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar duas constantes, e , que vão nos ajudar a simplificar essa equação usando uma mudança de variáveis. Basicamente, queremos transformar a equação original para que ela fique mais simples, na forma . Para isso, vamos precisar entender como mudar as variáveis e como isso afeta as derivadas na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a mudança de variáveis que vamos usar. Estamos definindo duas novas variáveis e em termos de e :
Aqui, e são constantes que queremos encontrar. A ideia é reescrever a equação original em termos dessas novas variáveis para simplificar a expressão.

Passo 3

Agora, precisamos expressar as derivadas parciais de em relação a e nas derivadas em termos de e . Para isso, usamos a regra da cadeia. Vamos calcular as derivadas primeira e segunda.
Primeiras derivadas:
Calculando as derivadas dos novos parâmetros:
Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem que aparecem na equação original. Precisamos das derivadas , e .
Primeira derivada em :
Derivando novamente em :
Derivada mista em e :
Derivada em :
Derivando novamente em :

Passo 5

Agora, vamos substituir essas derivadas na equação original:
Vamos agrupar os termos de acordo com as derivadas:
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Para que a equação resultante seja , os coeficientes de e devem ser iguais a zero, e o coeficiente de deve ser um valor constante que não interfere na equação desejada.
Então, temos o sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver as duas primeiras equações para encontrar e . Elas são equações quadráticas na forma:
As soluções dessas equações são:
Então, as constantes e que satisfazem as condições são:

Resposta

As constantes e são dadas por
e

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Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do parabolóide hiperbólico e acima da região limitada pelas curvas e no primeiro quadrante.
Se , mostre que
Calcule e em cada item.
©
Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais.
(a)