Dada a equação
A partial^2 zpartial x^2+2 B partial^2 zpartial^2 x partial y+C partial^2 zpartial y^2=0
onde A, B e C são constantes, determine as constantes S e K de tal modo que, ao usarmos a mudança de variáveis t=x+S y e u=x+K y, a expressão acima resulta em
partial^2 zpartial u partial t=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação envolvendo derivadas parciais de segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar duas constantes, e , que vão nos ajudar a simplificar essa equação usando uma mudança de variáveis. Basicamente, queremos transformar a equação original para que ela fique mais simples, na forma . Para isso, vamos precisar entender como mudar as variáveis e como isso afeta as derivadas na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a mudança de variáveis que vamos usar. Estamos definindo duas novas variáveis t = x + S y e u = x + K y em termos de e :
Aqui, e são constantes que queremos encontrar. A ideia é reescrever a equação original em termos dessas novas variáveis para simplificar a expressão.

Passo 3

Agora, precisamos expressar as derivadas parciais de partial zpartial x = partial zpartial t cdot partial tpartial x + partial zpartial u cdot partial upartial x em relação a partial zpartial y = partial zpartial t cdot partial tpartial y + partial zpartial u cdot partial upartial y e partial tpartial x = 1, partial tpartial y = S nas derivadas em termos de partial upartial x = 1, partial upartial y = K e partial zpartial x = partial zpartial t + partial zpartial u . Para isso, usamos a regra da cadeia. Vamos calcular as derivadas primeira e segunda.
Primeiras derivadas:
partial zpartial y = S partial zpartial t + K partial zpartial u
Calculando as derivadas dos novos parâmetros:
Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem que aparecem na equação original. Precisamos das derivadas partial zpartial x = zt + zu , partial^2 zpartial x^2 = ztt + 2 ztu + zuu e partial^2 zpartial x partial y = S ztt + (S + K) ztu + K zuu .
Primeira derivada em partial zpartial y = S zt + K zu :
partial^2 zpartial y^2 = S^2 ztt + 2 S K ztu + K^2 zuu
Derivando novamente em :
Derivada mista em e :
Derivada em :
Derivando novamente em :

Passo 5

Agora, vamos substituir essas derivadas na equação original:
A (ztt + 2 ztu + zuu) + 2 B (S ztt + (S + K) ztu + K zuu) + C (S^2 ztt + 2 S K ztu + K^2 zuu) = 0
Vamos agrupar os termos de acordo com as derivadas:
Coeficiente de A + 2 B S + C S^2 :
2 A + 2 B (S + K) + 2 C S K
Coeficiente de A + 2 B K + C K^2 :
A + 2 B S + C S^2 = 0
Coeficiente de A + 2 B K + C K^2 = 0 :
2 A + 2 B (S + K) + 2 C S K = constante
Para que a equação resultante seja , os coeficientes de e devem ser iguais a zero, e o coeficiente de deve ser um valor constante que não interfere na equação desejada.
Então, temos o sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver as duas primeiras equações para encontrar C S^2 + 2 B S + A = 0 e C K^2 + 2 B K + A = 0 . Elas são equações quadráticas na forma:
S = -2 B + raiz(2 B)^2 - 4 C A2 C = -B + raizB^2 - A CC
K = -2 B - raiz(2 B)^2 - 4 C A2 C = -B - raizB^2 - A CC
As soluções dessas equações são:
S = -B + raizB^2 - A C C
K = -B - raizB^2 - A C C
Então, as constantes e que satisfazem as condições são:

Resposta

As constantes S = -B + raizB^2 - A C C e K = -B - raizB^2 - A C C são dadas por
e

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