Dada a equação
onde
e
são constantes, determine as constantes
e
de tal modo que, ao usarmos a mudança de variáveis
e
, a expressão acima resulta em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação envolvendo derivadas parciais de segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar duas constantes,
e
, que vão nos ajudar a simplificar essa equação usando uma mudança de variáveis. Basicamente, queremos transformar a equação original para que ela fique mais simples, na forma
. Para isso, vamos precisar entender como mudar as variáveis e como isso afeta as derivadas na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a mudança de variáveis que vamos usar. Estamos definindo duas novas variáveis
e
em termos de
e
:
Aqui,
e
são constantes que queremos encontrar. A ideia é reescrever a equação original em termos dessas novas variáveis para simplificar a expressão.
Passo 3
Agora, precisamos expressar as derivadas parciais de
em relação a
e
nas derivadas em termos de
e
. Para isso, usamos a regra da cadeia. Vamos calcular as derivadas primeira e segunda.
Primeiras derivadas:
Calculando as derivadas dos novos parâmetros:
Substituindo:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem que aparecem na equação original. Precisamos das derivadas
,
e
.
Primeira derivada em
:
Derivando novamente em
:
Derivada mista em
e
:
Derivada em
:
Derivando novamente em
:
Passo 5
Agora, vamos substituir essas derivadas na equação original:
Vamos agrupar os termos de acordo com as derivadas:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Para que a equação resultante seja
, os coeficientes de
e
devem ser iguais a zero, e o coeficiente de
deve ser um valor constante que não interfere na equação desejada.
Então, temos o sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver as duas primeiras equações para encontrar
e
. Elas são equações quadráticas na forma:
As soluções dessas equações são:
Então, as constantes
e
que satisfazem as condições são:
Resposta
As constantes
e
são dadas por
e
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do parabolóide hiperbólico
e acima da região limitada pelas curvas
e
no primeiro quadrante.
Se
, mostre que
Calcule
e
em cada item.
©
©
Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais.
(a)
(a)