Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do parabolóide hiperbólico e acima da região limitada pelas curvas e no primeiro quadrante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o volume de um sólido que está abaixo do parabolóide hiperbólico e acima da região limitada pelas curvas e no primeiro quadrante. Isso envolve cálculo de integrais duplas, então vamos usar um pouco de cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região no plano onde vamos calcular o volume. No primeiro quadrante, ou seja, onde e , temos duas curvas: e . Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites de integração.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos a :
Então, ou . Correspondente a e . Portanto, os limites de são de 0 a 1.

Passo 4

Agora, para cada valor de entre 0 e 1, varia de até . Então, nossos limites de integração são:

Passo 5

O parabolóide hiperbólico dado por representa a parte de cima do sólido. Para encontrar o volume, vamos integrar essa função sobre a região que encontramos:
Onde é a região delimitada pelas curvas no primeiro quadrante.

Passo 6

Vamos realizar a integração primeiro em relação a :
Integrando em relação a :
Avaliado de a :
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de 0 a 1:
Integrando termo a termo:
Avaliado de 0 a 1:

Passo 8

Vamos simplificar os termos:
Somando todos:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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