Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do parabolóide hiperbólico e acima da região limitada pelas curvas e no primeiro quadrante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o volume de um sólido que está abaixo do parabolóide hiperbólico e acima da região limitada pelas curvas e no primeiro quadrante. Isso envolve cálculo de integrais duplas, então vamos usar um pouco de cálculo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região no plano onde vamos calcular o volume. No primeiro quadrante, ou seja, onde e , temos duas curvas: e . Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites de integração.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos a :
Então, ou . Correspondente a e . Portanto, os limites de são de 0 a 1.
Passo 4
Agora, para cada valor de entre 0 e 1, varia de até . Então, nossos limites de integração são:
Passo 5
O parabolóide hiperbólico dado por representa a parte de cima do sólido. Para encontrar o volume, vamos integrar essa função sobre a região que encontramos:
Onde é a região delimitada pelas curvas no primeiro quadrante.
Passo 6
Vamos realizar a integração primeiro em relação a :
Integrando em relação a :
Avaliado de a :
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de 0 a 1: