Dada a equação, pede-se para:
identificar a cônica; achar o centro (ou o vértice); calcular a equação canônica;
identificar a cônica; achar o centro (ou o vértice); calcular a equação canônica;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação do segundo grau que representa uma cônica:
Nossa missão é:
- Identificar que tipo de cônica é essa.
- Encontrar o centro (ou vértice) dessa cônica.
- Calcular a equação canônica dela.
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como identificar e manipular equações de cônicas, especialmente quando elas têm termos misturados como o
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. Para isso, usamos o discriminante da equação geral da cônica, que é calculado pela fórmula:
Onde
,
e
são os coeficientes de
,
e
respectivamente na equação geral
.
No nosso caso:
Calculando o discriminante:
Quando o discriminante
, a cônica pode ser uma parábola, um círculo ou outra forma especial. Mas, como temos o termo
presente, sabemos que não é um círculo. Nesse caso, como
, estamos lidando com uma parábola rotacionada.
Passo 3
Agora que sabemos que é uma parábola rotacionada, precisamos encontrar o centro (ou vértice) e a equação canônica. Como há um termo
, isso indica que a parábola está inclinada em relação aos eixos coordenados. Para simplificar, vamos fazer uma mudança de coordenadas que elimina o termo
.
Essa rotação é feita usando a seguinte fórmula para encontrar o ângulo
de rotação:
Vamos calcular esse ângulo.
Passo 4
Substituindo os valores:
Então:
Calculando
:
Dividindo por 2 para encontrar
:
Agora, vamos usar esse ângulo para rotacionar o sistema de coordenadas e eliminar o termo
. As fórmulas de rotação são:
Substituindo
:
Isso simplifica a equação original e elimina o termo
.
Passo 5
Após a rotação, a equação da parábola fica na forma canônica, sem o termo
. Vamos reorganizar os termos para encontrar a equação canônica e identificar o vértice.
Após os cálculos (que envolvem substituir as expressões rotacionadas na equação original e simplificar), obteremos uma equação na forma:
Onde
é a distância do vértice ao foco e
é uma constante que desloca a parábola no novo sistema de coordenadas.
Finalmente, o vértice da parábola no sistema original pode ser encontrado revertendo a rotação. Após todos os cálculos, obtemos a equação canônica e as coordenadas do vértice.
Resposta
A cônica é uma parábola rotacionada com vértice em
e equação canônica: