Dada a equação, pede-se para:
identificar a cônica; achar o centro (ou o vértice); calcular a equação canônica;
identificar a cônica; achar o centro (ou o vértice); calcular a equação canônica;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta a seguinte equação quadrática:
O que precisamos fazer é:
1. Identificar que tipo de cônica essa equação representa.
2. Encontrar o centro (ou vértice) dessa cônica.
3. Calcular a equação canônica, ou seja, a forma simplificada da equação.
Para resolver isso, vamos lembrar que equações quadráticas em duas variáveis podem representar diferentes cônicas (círculo, elipse, parábola, hipérbole) dependendo dos coeficientes e termos presentes. Vamos precisar usar o método de completar o quadrado para reorganizar a equação e identificar a cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de
e
:
Agora, vamos separar os termos de
e
e deixar o termo constante para o lado oposto:
Passo 3
Vamos completar o quadrado para os termos de
.
Temos
. Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor:
Isso nos permite reescrever os termos de
como um quadrado perfeito:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de
. Antes, vamos isolar os termos de
:
Podemos fatorar o coeficiente de
:
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor dentro dos parênteses:
Isso simplifica para:
Passo 5
Voltando à nossa equação, substituímos os termos completados:
Agora, vamos simplificar os constantes:
Então, a equação fica:
Agora, adicionamos
em ambos os lados:
Passo 6
Vamos dividir todos os termos por
para isolar os termos quadráticos:
Simplificando as frações:
Então, a equação fica:
Podemos reescrever para a forma padrão:
Passo 7
Agora, identificando a forma padrão da hipérbole:
Podemos ver que nossa equação se encaixa nessa forma, onde:
Isso nos mostra que a cônica é uma hipérbole.
Resposta
A equação dada representa uma hipérbole com centro em
e equação canônica: