Dada a equação, pede-se para:
identificar a cônica; achar o centro (ou o vértice); calcular a equação canônica;
x^2-4 y^2+4 x+6 y+1=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta a seguinte equação quadrática:
x^2 - 4 y^2 + 4 x + 6 y + 1 = 0
O que precisamos fazer é:
1. Identificar que tipo de cônica essa equação representa.
2. Encontrar o centro (ou vértice) dessa cônica.
3. Calcular a equação canônica, ou seja, a forma simplificada da equação.
Para resolver isso, vamos lembrar que equações quadráticas em duas variáveis podem representar diferentes cônicas (círculo, elipse, parábola, hipérbole) dependendo dos coeficientes e termos presentes. Vamos precisar usar o método de completar o quadrado para reorganizar a equação e identificar a cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de x^2 + 4x - 4y^2 + 6y + 1 = 0 e x^2 + 4x - 4y^2 + 6y = -1:
Agora, vamos separar os termos de e e deixar o termo constante para o lado oposto:

Passo 3

Vamos completar o quadrado para os termos de (42)^2 = 4.
Temos x^2 + 4x + 4 - 4 - 4y^2 + 6y = -1. Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de (x + 2)^2 - 4 - 4y^2 + 6y = -1, que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor:
Isso nos permite reescrever os termos de como um quadrado perfeito:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de -4y^2 + 6y. Antes, vamos isolar os termos de -4(y^2 - 32y):
(-322)^2 = (-34)^2 = 916
Podemos fatorar o coeficiente de -4(y^2 - 32y + 916 - 916):
-4((y - 34)^2 - 916) = -4(y - 34)^2 + 94
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, pegamos o coeficiente de , que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor dentro dos parênteses:
Isso simplifica para:

Passo 5

Voltando à nossa equação, substituímos os termos completados:
(x + 2)^2 - 4 - 4(y - 34)^2 + 94 = -1
Agora, vamos simplificar os constantes:
-4 + 94 = -164 + 94 = -74
Então, a equação fica:
(x + 2)^2 - 4(y - 34)^2 - 74 = -1
Agora, adicionamos (x + 2)^2 - 4(y - 34)^2 = -1 + 74 = 34 em ambos os lados:

Passo 6

Vamos dividir todos os termos por (x + 2)^234 - 4(y - 34)^234 = 1 para isolar os termos quadráticos:
(x + 2)^234 = 43(x + 2)^2
Simplificando as frações:
4(y - 34)^234 = 163(y - 34)^2
43(x + 2)^2 - 163(y - 34)^2 = 1
Então, a equação fica:
(x + 2)^234 - (y - 34)^2316 = 1
Podemos reescrever para a forma padrão:

Passo 7

Agora, identificando a forma padrão da hipérbole:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Podemos ver que nossa equação se encaixa nessa forma, onde:
Isso nos mostra que a cônica é uma hipérbole.

Resposta

A equação dada representa uma hipérbole com centro em (x + 2)^234 - (y - 34)^2316 = 1 e equação canônica:

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