Dada a equação da quádric:
(a) Complete os quadrados para reescrever a equação na forma canónica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de quadricas! A gente tem a equação
. Nosso objetivo aqui é completar os quadrados para colocar essa equação na forma canónica, que é uma forma mais simples e fácil de entender a geometria da quadrica.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de cada variável juntos:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para o termo de
. Pegamos os coeficientes:
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de
, que é
, dividido por 2, ficando
. Elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4:
Isso fica:
Passo 4
Vamos fazer o mesmo para o termo de
:
Primeiro, fatoramos o 4:
Agora, completamos o quadrado dentro do parênteses. Metade de 4 é 2, ao quadrado é 4:
Multiplicando de volta pelo 4:
Passo 5
Agora, completamos o quadrado para o termo de
:
Fatoramos o 9:
Completamos o quadrado. Metade de 2 é 1, ao quadrado é 1:
Multiplicando de volta pelo 9:
Passo 6
Substituímos tudo de volta na equação original:
Passo 7
Vamos somar os termos constantes:
Então, a equação fica:
Passo 8
Isolamos os termos quadráticos:
Passo 9
Finalmente, dividimos tudo por 44 para deixar a equação na forma canónica:
Resposta
A forma canónica da equação é: