Dada a equação da quádric:
x^2+4 y^2+9 z^2-4 x+16 y+18 z=15
(a) Complete os quadrados para reescrever a equação na forma canónica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de quadricas! A gente tem a equação . Nosso objetivo aqui é completar os quadrados para colocar essa equação na forma canónica, que é uma forma mais simples e fácil de entender a geometria da quadrica.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de cada variável juntos:
x^2 - 4x + 4y^2 + 16y + 9z^2 + 18z = 15

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para o termo de x^2 - 4x . Pegamos os coeficientes:
(-2)^2 = 4
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de x^2 - 4x + 4 - 4 , que é (x - 2)^2 - 4 , dividido por 2, ficando . Elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4:
Isso fica:

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para o termo de 4y^2 + 16y :
4(y^2 + 4y)
Primeiro, fatoramos o 4:
y^2 + 4y + 4 - 4 = (y + 2)^2 - 4
Agora, completamos o quadrado dentro do parênteses. Metade de 4 é 2, ao quadrado é 4:
4[(y + 2)^2 - 4] = 4(y + 2)^2 - 16
Multiplicando de volta pelo 4:

Passo 5

Agora, completamos o quadrado para o termo de 9z^2 + 18z :
9(z^2 + 2z)
Fatoramos o 9:
z^2 + 2z + 1 - 1 = (z + 1)^2 - 1
Completamos o quadrado. Metade de 2 é 1, ao quadrado é 1:
9[(z + 1)^2 - 1] = 9(z + 1)^2 - 9
Multiplicando de volta pelo 9:

Passo 6

Substituímos tudo de volta na equação original:
(x - 2)^2 - 4 + 4(y + 2)^2 - 16 + 9(z + 1)^2 - 9 = 15

Passo 7

Vamos somar os termos constantes:
-4 - 16 - 9 = -29
Então, a equação fica:
(x - 2)^2 + 4(y + 2)^2 + 9(z + 1)^2 - 29 = 15

Passo 8

Isolamos os termos quadráticos:
(x - 2)^2 + 4(y + 2)^2 + 9(z + 1)^2 = 15 + 29
(x - 2)^2 + 4(y + 2)^2 + 9(z + 1)^2 = 44

Passo 9

Finalmente, dividimos tudo por 44 para deixar a equação na forma canónica:
(x - 2)^244 + (y + 2)^211 + (z + 1)^2449 = 1

Resposta

A forma canónica da equação é:
(x - 2)^244 + (y + 2)^211 + (z + 1)^2449 = 1

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