Todas as inversas generalizadas da matriz A podem ser escritas nas duas formas alternativas
a)
b)
onde
é uma particular inversa generalizada de
e W são matrizes arbitrárias. Verifique que
especificada nos itens a e
satisfaz a condição
.
a)
b)
onde
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre inversas generalizadas de matrizes. A matriz
tem uma inversa particular chamada
, e estamos vendo duas formas diferentes de escrever qualquer inversa generalizada
de
. O objetivo aqui é verificar se, usando essas formas para
, a condição
é satisfeita. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular matrizes e usar as propriedades das inversas generalizadas.
Passo 2
Vamos começar com a primeira forma da inversa generalizada fornecida no item a):
Aqui,
é uma matriz arbitrária, o que significa que pode ser qualquer matriz de tamanho compatível. Nosso objetivo é calcular
e verificar se isso resulta na matriz
.
Passo 3
Substituímos
na expressão
:
Agora, vamos distribuir o
nas três partes da soma:
Passo 4
Vamos analisar cada termo separadamente:
-
Primeiro termo:Uma propriedade das inversas generalizadas é que
. Então, esse termo vira apenas . -
Segundo termo:Esse termo permanece como está, já que
é qualquer matriz. -
Terceiro termo:Novamente, usando a propriedade
, substituímos: E aplicando mais uma vez:
Passo 5
Agora, juntando os três termos que simplificamos:
Os termos
e
se cancelam, deixando apenas:
Isso confirma que a condição
é satisfeita para a forma a) da inversa generalizada.
Passo 6
Vamos agora para a segunda forma da inversa generalizada fornecida no item b):
Aqui,
e
são matrizes arbitrárias, e
é a matriz identidade. Precisamos verificar novamente se
.
Passo 7
Substituímos
na expressão
:
Distribuindo o
nas três partes:
Passo 8
Vamos analisar cada termo novamente:
-
Primeiro termo:Como antes,
. -
Segundo termo:Primeiro, multiplicamos
por : Então, o segundo termo fica: -
Terceiro termo:Primeiro, multiplicamos
por : Multiplicando pelona frente: Usando:
Passo 9
Agora, juntando os três termos que simplificamos:
Isso confirma que a condição
também é satisfeita para a forma b) da inversa generalizada.
Resposta
Para ambas as formas a) e b) da inversa generalizada
, a condição
é satisfeita.
Exercícios relacionados
Dada a equação da quádric:
(a) Complete os quadrados para reescrever a equação na forma canónica.
Determine a equação vetorial da reta
que passa pelo ponto
e tem direção do vetor
. Encontre pelo menos 3 pontos pertencentes à reta
.
Determine as equações paramétricas da reta
, determinada pelos seguintes pontos:
e
Determine, pela definição, uma inversa generalizada de
.