Todas as inversas generalizadas da matriz A podem ser escritas nas duas formas alternativas
a) X=A^-+U-A^- A U A A^-
b) X=A^-+V(I-A A^-)+(I-A^- A) W
onde A^-é uma particular inversa generalizada de A, U, V e W são matrizes arbitrárias. Verifique que X especificada nos itens a e b satisfaz a condição A XA=A.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre inversas generalizadas de matrizes. A matriz tem uma inversa particular chamada , e estamos vendo duas formas diferentes de escrever qualquer inversa generalizada de . O objetivo aqui é verificar se, usando essas formas para , a condição é satisfeita. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular matrizes e usar as propriedades das inversas generalizadas.

Passo 2

Vamos começar com a primeira forma da inversa generalizada fornecida no item a):
X = A^- + U - A^- A U A A^-
Aqui, é uma matriz arbitrária, o que significa que pode ser qualquer matriz de tamanho compatível. Nosso objetivo é calcular e verificar se isso resulta na matriz .

Passo 3

Substituímos A X A = A (A^- + U - A^- A U A A^-) A na expressão A X A = A A^- A + A U A - A A^- A U A A^- A :
Agora, vamos distribuir o nas três partes da soma:

Passo 4

Vamos analisar cada termo separadamente:
  1. Primeiro termo: - A U A A^- A
    Uma propriedade das inversas generalizadas é que - A U A . Então, esse termo vira apenas .
  2. Segundo termo:
    Esse termo permanece como está, já que é qualquer matriz.
  3. Terceiro termo:
    Novamente, usando a propriedade , substituímos:
    E aplicando mais uma vez :

Passo 5

Agora, juntando os três termos que simplificamos:
A X A = A + A U A - A U A
Os termos A X A = A e se cancelam, deixando apenas:
Isso confirma que a condição é satisfeita para a forma a) da inversa generalizada.

Passo 6

Vamos agora para a segunda forma da inversa generalizada fornecida no item b):
X = A^- + V (I - A A^-) + (I - A^- A) W
Aqui, e são matrizes arbitrárias, e é a matriz identidade. Precisamos verificar novamente se .

Passo 7

Substituímos A X A = A ( A^- + V (I - A A^-) + (I - A^- A) W ) A na expressão A X A = A A^- A + A V (I - A A^-) A + A (I - A^- A) W A :
Distribuindo o nas três partes:

Passo 8

Vamos analisar cada termo novamente:
  1. Primeiro termo: (I - A A^-) A = A - A A^- A = A - A = 0
    Como antes, A V cdot 0 = 0 .
  2. Segundo termo: (I - A^- A) W A = W A - A^- A W A
    Primeiro, multiplicamos A W A - A A^- A W A por A W A - A W A = 0 :
    Então, o segundo termo fica:
  3. Terceiro termo:
    Primeiro, multiplicamos por :
    Multiplicando pelo na frente:
    Usando :

Passo 9

Agora, juntando os três termos que simplificamos:
A X A = A + 0 + 0 = A
Isso confirma que a condição também é satisfeita para a forma b) da inversa generalizada.

Resposta

Para ambas as formas a) e b) da inversa generalizada , a condição é satisfeita.

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