A forma quadrática x^prime A x é chamada positiva definida se a matriz A é positiva definida.Verificar se a forma quadrática 3 x1^2+3 x2^2+2 x1 x2 é positiva definida.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma forma quadrática dada por e queremos verificar se ela é positiva definida. Para isso, precisamos entender o que significa uma matriz ser positiva definida e como isso se aplica à forma quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma forma quadrática pode ser representada na forma matricial , onde é uma matriz simétrica. No nosso caso, precisamos identificar a matriz correspondente à forma quadrática dada.

Passo 3

A forma quadrática A = 3 & 1 1 & 3 pode ser escrita como , onde:
Aqui, os coeficientes de e são os elementos diagonais da matriz, e o coeficiente de é dividido igualmente entre os elementos fora da diagonal.

Passo 4

Para verificar se a matriz é positiva definida, podemos usar o critério dos menores principais. Isso significa que todos os menores principais da matriz devem ser positivos.
Primeiro, o menor principal de ordem 1 é simplesmente o elemento , que no nosso caso é 3. Como 3 é positivo, passamos para o próximo passo.

Passo 5

O próximo passo é verificar o determinante da matriz det(A) = (3)(3) - (1)(1) = 9 - 1 = 8 . Se o determinante for positivo, e os menores principais anteriores também forem positivos, então a matriz é positiva definida.
Calculando o determinante:
Como 8 é positivo, isso confirma que a matriz é positiva definida.

Resposta

A forma quadrática é positiva definida.

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