A forma quadrática
é chamada positiva definida se a matriz A é positiva definida.Verificar se a forma quadrática
é positiva definida.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma forma quadrática dada por
e queremos verificar se ela é positiva definida. Para isso, precisamos entender o que significa uma matriz ser positiva definida e como isso se aplica à forma quadrática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma forma quadrática pode ser representada na forma matricial
, onde
é uma matriz simétrica. No nosso caso, precisamos identificar a matriz
correspondente à forma quadrática dada.
Passo 3
A forma quadrática
pode ser escrita como
, onde:
Aqui, os coeficientes de
e
são os elementos diagonais da matriz, e o coeficiente de
é dividido igualmente entre os elementos fora da diagonal.
Passo 4
Para verificar se a matriz
é positiva definida, podemos usar o critério dos menores principais. Isso significa que todos os menores principais da matriz devem ser positivos.
Primeiro, o menor principal de ordem 1 é simplesmente o elemento
, que no nosso caso é 3. Como 3 é positivo, passamos para o próximo passo.
Passo 5
O próximo passo é verificar o determinante da matriz
. Se o determinante for positivo, e os menores principais anteriores também forem positivos, então a matriz é positiva definida.
Calculando o determinante:
Como 8 é positivo, isso confirma que a matriz
é positiva definida.
Resposta
A forma quadrática
é positiva definida.