Dada a equação resolva-a se

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação que envolve funções trigonométricas: seno, cosseno, secante e cossecante. A equação é:
E a gente precisa resolver essa equação sabendo que . Para resolver isso, vamos precisar lembrar algumas relações e identidades trigonométricas básicas, como as definições de secante e cossecante em termos de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, já que , podemos substituir por na equação para simplificar. Assim, a equação fica:

Passo 3

Vamos simplificar cada parte da equação. Sabemos que:
  • (secante é o inverso do cosseno)
  • (cossecante é o inverso do seno)
Substituindo essas expressões, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver o que está dentro dos parênteses da segunda parte da expressão:
Então, substituindo de volta na equação, temos:

Passo 5

Perceba que é igual a . Então, a equação fica:
Isso é o mesmo que:

Passo 6

Vamos expandir usando a identidade :
Sabemos que , então:
Substituindo de volta na equação:

Passo 7

Vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Simplificando:

Passo 8

Isolando o termo fracionário:

Passo 9

Invertendo ambos os lados para resolver para :

Passo 10

Lembrando que , podemos escrever:
Então:

Passo 11

A solução para ocorre quando , onde é um número inteiro.
Então:
Dividindo ambos os lados por 2:

Resposta

A solução da equação é:
onde é um número inteiro.

Exercícios relacionados

Determine uma função vetorial que represente:
Resolver as seguintes equações:
Resolver as equações abaixo
Resolver as equações abaixo