Dada a equação 5 x^2+2 y^2+z^2+6 x-4 y-8=0, determine a superfície representada e discuta a posição de seus eixos principais.**

Passo 1

Então, a gente tem a equação . Nosso objetivo aqui é descobrir que tipo de superfície essa equação representa. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quadráticas. Vamos precisar completar o quadrado para cada uma das variáveis e para simplificar a equação e identificar a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de 5x^2 + 6x + 2y^2 - 4y + z^2 - 8 = 0, e o termo de :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 5(x^2 + 65x). Para isso, fatoramos o coeficiente de 5(x^2 + 65x + 925 - 925) = 5((x + 35)^2 - 925):
Para completar o quadrado, pegamos a metade do coeficiente de , que é , e elevamos ao quadrado: . Então, adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:

Passo 4

Fazemos o mesmo processo para os termos de 2(y^2 - 2y). Fatoramos o coeficiente de 2(y^2 - 2y + 1 - 1) = 2((y - 1)^2 - 1):
Metade do coeficiente de é e ao quadrado fica . Adicionamos e subtraímos:

Passo 5

Agora, substituímos essas expressões de volta na equação original:
5((x + 35)^2 - 925) + 2((y - 1)^2 - 1) + z^2 - 8 = 0
Distribuímos os coeficientes:
5(x + 35)^2 - 4525 + 2(y - 1)^2 - 2 + z^2 - 8 = 0
Simplificamos os termos constantes:
-4525 - 2 - 8 = -4525 - 5025 - 20025 = -29525
Então, a equação fica:
5(x + 35)^2 + 2(y - 1)^2 + z^2 = 29525
Simplificando o lado direito:
29525 = 595

Passo 6

Para deixar a equação na forma padrão, dividimos todos os termos por 5(x + 35)^2595 + 2(y - 1)^2595 + z^2595 = 1:
(x + 35)^25925 + (y - 1)^25910 + z^2595 = 1
Simplificando as frações:

Passo 7

Agora, reconhecemos que essa é a equação de uma elipsoide, que é uma superfície tridimensional oval. A equação está na forma padrão de uma elipsoide centrada em . Os denominadores sob cada termo indicam os eixos principais da elipsoide.

Resposta

A equação representa uma elipsoide centrada no ponto , com seus eixos principais alinhados com os eixos coordenados , e .

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