Dada a equação
, determine a superfície representada e discuta a posição de seus eixos principais.**
Passo 1
Então, a gente tem a equação
. Nosso objetivo aqui é descobrir que tipo de superfície essa equação representa. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quadráticas. Vamos precisar completar o quadrado para cada uma das variáveis
e
para simplificar a equação e identificar a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
,
e o termo de
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Para isso, fatoramos o coeficiente de
:
Para completar o quadrado, pegamos a metade do coeficiente de
, que é
, e elevamos ao quadrado:
. Então, adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:
Passo 4
Fazemos o mesmo processo para os termos de
. Fatoramos o coeficiente de
:
Metade do coeficiente de
é
e ao quadrado fica
. Adicionamos e subtraímos:
Passo 5
Agora, substituímos essas expressões de volta na equação original:
Distribuímos os coeficientes:
Simplificamos os termos constantes:
Então, a equação fica:
Simplificando o lado direito:
Passo 6
Para deixar a equação na forma padrão, dividimos todos os termos por
:
Simplificando as frações:
Passo 7
Agora, reconhecemos que essa é a equação de uma elipsoide, que é uma superfície tridimensional oval. A equação está na forma padrão de uma elipsoide centrada em
. Os denominadores sob cada termo indicam os eixos principais da elipsoide.
Resposta
A equação representa uma elipsoide centrada no ponto
, com seus eixos principais alinhados com os eixos coordenados
,
e
.