Escreva as combinações lineares para os seguintes conjuntos de vetores.
v=(1,-6,3) é uma C.L de u=(1,-3,2) e w=(1,0,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores e . Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre combinações lineares. O que vamos precisar é encontrar os coeficientes que multiplicam e para obter .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Basicamente, uma combinação linear de vetores envolve multiplicar cada vetor por um número (chamado de escalar) e depois somar esses resultados. No nosso caso, queremos encontrar escalares v = a cdot u + b cdot w e tais que:

Passo 3

Vamos substituir os vetores na equação:
(1, -6, 3) = a cdot (1, -3, 2) + b cdot (1, 0, 1)
Isso nos dá um sistema de equações para cada componente do vetor:
1 = a cdot 1 + b cdot 1 -6 = a cdot (-3) + b cdot 0 3 = a cdot 2 + b cdot 1

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da segunda equação:
-6 = -3a Rightarrow a = -6-3 = 2
Agora que sabemos que 1 = 2 cdot 1 + b cdot 1 Rightarrow 1 = 2 + b Rightarrow b = 1 - 2 = -1 , substituímos na primeira equação:
3 = 2 cdot 2 + (-1) cdot 1 Rightarrow 3 = 4 - 1 Rightarrow 3 = 3
Por fim, verificamos na terceira equação:
Tudo conferiu!

Resposta

A combinação linear é:
v = 2 cdot u - 1 cdot w
Ou seja,
v = 2u - w

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